ECUACIONES LINEALES EN ING

Una Constructora tiene tres maquinarias que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada uno de los cuatro productos está dado por

Producto 1 (Horas) Producto 2 (Horas) Producto 3 (Horas) Producto 4 (Horas)

Máquina 1 1 2 1 2

Máquina 2 2 0 1 1

Máquina 3 1 2 3 0

Por ejemplo, en la producción de una unidad del producto 1 la máquina 1 se usa 1 hora, la máquina 2 se usa 2 horas y la máquina 3 se usa 1 hora.

Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los 4 productos un día de 8 horas completas.

Solución: Sea x_i el número de unidades que se deben producir del producto “ _i” que se fabrican durante las 8 horas con _i = 1, 2, 3 y 4.

1X_1: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 1.

2X_2: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 2.

1X_3: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 3.

2X_4: Es la cantidad de horas diarias que es usada la máquina 1 en la fabricación del producto 4.

Como la máquina 1 debe ser usada 8 horas diarias, entonces tenemos que:

Procediendo de forma similar para las máquinas 2 y 3 obtenemos el sistemas de ecuaciones lineales siguiente

Aplicando eliminación de Gauss-Jordán llegamos al sistema equivalente

De donde,

Cada x_i es no negativa por representar la cantidad de unidades fabricadas del producto _i cada día, por lo tanto x_i < 0 no tiene sentido.

Si asumimos que se produce un número completo de unidades, entonces x_i debe ser además un número entero para que todos los x_i , sean no negativos x_4 debe ser un entero menor o igual que 2, y por lo tanto las posibles soluciones son:

x_1 x_2 x_3 x_4

Solución 1 4 2 0 0

Solución 2 3 1 1 1

Solución 3 2 0 2 2

Por ejemplo la solución 1 significa que en un día para las máquinas estar completamente utilizadas se deben producir 4 unidades del producto 1, 2 del producto 2 y ninguna de los productos 3 y 4.

Para resolver un problema que involucra sistemas de ecuaciones lineales se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Entender el problema.

2. Determinar los datos conocidos.

3. Nombrar adecuadamente las incógnitas de acuerdo a lo que se pida.

4. Establecer las relaciones existentes entre los datos conocidos y las incógnitas.

5. Determinar el sistema de ecuaciones lineales asociado a las relaciones en 4.

6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante en 5.

7. Verificar que las respuestas obtenidas si estén de acuerdo al problema.

8. Interpretar el resultado si es posible.

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