Ecuaciones Lineales

Ecuación de primer grado

Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potEn una incógnita[editar]

Una ecuación de una variable mx + n = 0 definida sobre un cuerpo \mathbb{K}, es decir, con \{m,n,x\} \subset \mathbb{K}, m\neq 0 donde x es la variable, admite la siguiente solución:

x = - \frac{n}{m}

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:

\exists k: n = m\cdot k \Rightarrow x = -k

En dos incógnitas[editar]

En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

y = m x + n ;

Donde m representa la pendiente y el valor de n determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

3x + 2y = 5

3x + y -5 = -7x + 4y +3

x - y + z = 15

3x - 2y + z = 20

x + 4y - 3z = 10

Formas alternativas[editar]

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

Ecuación general

Ax + By + C = 0

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

Ecuación segmentaria o simétrica

\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

Forma paramétrica

x = Ut + x_0

y = Vt + y_0

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto (x_0, y_0) y forma con el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface: \tan \alpha = V/U

Casos especiales:

y = F

Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1 . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X o (si F = 0) coincidente con ese eje.

x = E

Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0 . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

0 = 0

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como

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