El Diferencial

El diferencial es un objeto matemático que representa la parte principal del cambio en la linealización de una función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial dy queda definido por la expresión

dy=f'(x)\,dx,

donde f'(x) es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión

dy={\frac {dy}{dx}}\,dx

donde la derivada es representada en la notación de Leibniz dy/dx, se mantiene, y es consistente con respecto a la derivada como el cociente de diferenciales. Así se puede escribir

df(x)=f'(x)\,dx.

El significado preciso de las variables dy y dx depende del contexto de aplicación y del nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las notaciones dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar un significado geométrico particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significado analítico si el diferencial es considerado como una aproximación lineal al incremento de una función. En aplicaciones físicas, a menudo, se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Geométricamente es un intervalo infinitesimal (infinitamente pequeño, pero no de longitud 0). "Calcular un diferencial" es un abuso de notación. Uno calcula la derivada de una función, con respecto a una de sus variables independientes. Por ejemplo, si y = y(x), uno calcula dy/dx= g(x), para algún g(x).

"Calcular el diferencial dy" es buscar qué es dy = g(x) dx. Es fácil ver que dy/dx se maneja (abusivamente) como una fracción y el dx "se pasa a multiplicar".

Sin embargo, "Pasar a multiplicar dx" está sustentado en la teoría de formas diferenciales.

Otra opinión de lo que es diferencial:

Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

M(x,y)dx + N(x,y)dy=0

Ésta

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