Diferencial

Aproximaciones lineales y diferenciales

Diferencial

La diferencial es el producto de la derivada de una función por el incremento (h) en la variable independiente.

La diferencial de una ecuación será representada por “dy”

Por lo tanto:

Dy: f´(x) (h)

O de igual manera:

Dy: f’(x) (dx)

Donde f’(x) es la derivada de la función y h o dx es el incremento en la variable independiente que en este caso es x.

Explicación geométrica:

En esta grafica podemos ver el punto P (x₀, y₀) y que la función de la curva es y= F (x). Además que sobre la curva se ha trazado una recta tangente al punto P.

Ahora en esta grafica se muestra que si el punto P es utilizado como origen la diferencial de y “dy” y la diferencial de x “dx” pasan a ser paralelos a los ejes antiguos.

También se observa la recta tangente del punto P pasa por el origen por lo cual su ecuación es dy = m (dx) donde m es la pendiente de la recta y dx es el incremento en “x”. También se puede decir que m = f’(x) por lo cual la diferencial de y queda:

Dy = f’(x) dx

Entonces en conclusión podemos decir que la diferencial de la variable independiente “x” es igual al incremento en x que está representado como Δx es decir que dx = Δx

Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y se escribe como dy = F’(x) dx o también como dy = F´(x) Δx

Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene: que el lado RQ = m.∆x, en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0, y por tanto, m = f ’(x₀).

Así que: RQ = f '(x₀) ∆x = dy

Además ∆y = f (x₀ + ∆x) − f (x₀)

Entonces para sacar la diferencial de una función se debe obtener la derivada de dicha función y multiplicarlo por el incremento o la diferencial en x

Ejemplo:

Diferencial de F(x)= 3x² + 2

• Primero comenzamos con derivar a la función:

F’(x) = 3(d(x²)/dx) + d (2)/dx

F’(x) = 3 (2x) + 0

F’(x) = 6x

• Ahora despejamos los resultados en la ecuación de la diferencial:

Dy = 6x (dx)

Ejemplo 2:

Diferencial de F(x) = 4x²+ 3x +2

• Sacamos la derivada de la función:

F’(x) = 4 (d(x²)/dx) + 3 + 0

F’(x) = 4(2x) + 3

F’(x) = 8x +3

• Ahora lo sustituimos en la ecuación de la diferencial

Dy = (8x +3) dx

Aproximaciones

Las diferenciales lineales suelen utilizarse para sacar aproximaciones de las funciones a la recta tangente. Las aproximaciones nos sirven para encontrar aproximadamente el valor de Δy conforme a una recta tangente que se aproxima a un punto de la función F (x).

Cuando se da a x un incremento Δx, la variable y recibe un incremento Δy, que puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por lo tanto, el valor aproximado de f (x + Δx) es:

F (x) + dy

Ejemplo:

Si , calcular el valor aproximado de .

Función:

Primero sacamos el incremento de x, entonces restamos el valor que tenemos con el del valor de la aproximación que queremos obtener

Δx = 38 – 36 = 2

Primero sacamos la diferencial de y para así poder sacar después el incremento que hay en y

Aplicaciones en una función:

Fijamos un punto x = x0

La recta tangente a f en el punto (x₀, f (x₀)) es una aproximación lineal a la curva y = f(x),

Ecuación Recta tangente a f desde (x₀, f (x₀)): cuando x está cerca de x₀

Ecuación (x₀, x₀)):

y = f (x₀) + f '(x₀) (x -x₀)

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