Calculo Diferencial

Calculo difencial.

El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas. Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas.

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f ( x ), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x,de un valor x 0 a x 0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y 0 = f ( x 0 ) a y 0 + k = f ( x 0 + h ), por lo que k = f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x 0 a x 0 + h. La gráfica de la función y = f ( x ) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = ( x 0 , y 0 ) y B = ( x 0 + h, y 0 + k ) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.

Si h tiende hacia 0, para un x 0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x 0 ; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f ( x ), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT , en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f '( x 0 ) de la función y = f ( x ) en x 0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f '( x 0 ) indican que f ( x ) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x 0 . La derivada de una función es a su vez otra función f '( x ) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f ( x ) = x 2 (parábola), entonces

por lo que k/h = 2 x 0 + h, que tiende hacia 2 x 0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x 0 es por tanto 2 x 0 , y la derivada de f ( x ) = x 2 es f '( x ) = 2 x. De manera similar, la derivada de x m es mx m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x 0 , pues k/h puede no tener un límite cuando h ? 0; por ejemplo, f ( x ) = | x | no tiene derivada en x 0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notacióndy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x ) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f ' se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f ( x ) = u ( x ) +v ( x ) para todas las x ) entonces f ' = u ' + v '. Una regla similar se aplica para la diferencia: ( u - v )' = u ' - v '. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, ( cu )' = cu ' para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f ' = uv ' + u ' v, y si f = u/v entonces f ' = ( u ' v - uv ')/ v 2 siempre que v ( x ) ? 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x 2 y x 5 son 2 x y 5 x 4 , por lo que la derivada de la función 3 x 2 - 4 x 5 es (3 x 2 - 4 x 5 )' = (3 x 2 )' - (4 x 5 )' = 3•( x 2 )' - 4•( x 5 )' = 3•(2 x ) - 4•(5 x 4 ) = 6 x - 20 x 4 . En general, la derivada de un polinomio cualquiera f ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n es f '( x ) = a 1 + 2 a 2 x + ... + na n x n -1 ; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u ( z ) y z = v ( x ), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u ( v ( x )), con lo que y es función de x, que se escribe y = f ( x ) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = ( dy/dz )•( dz/dx ), o lo que es lo mismo, f '( x ) = u '( v ( x ))• v '( x ). Por ejemplo, si y = e z en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = e ax ; según la tabla, dy/dz = e z y dz/dx = a, por lo que dy/dx = ae ax .

Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f ( x ) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ce axen donde c es una constante. Como e 0 = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a <0, se tiene quee ax ? 0 cuando x crece, por lo que y ? 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ce ax , pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como

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