Calculo Diferencial

ÍNDICE

Introducción. ---------------------------------------------------------------------------------------------- Pag.3

4.1 Definición de serie. -------------------------------------------------------------------------------- Pag.4

4.1.1 Finita. ------------------------------------------------------------------------------------------------ Pag.5-6

4.1.2 Infinita. ---------------------------------------------------------------------------------------------- Pag.7

4.2 Serie numérica y convergencia, prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y

prueba de la raíz (criterio de Cauchy).------------------------------------------------------------- Pag.8-9

4.3 Serie de potencias. -------------------------------------------------------------------------------- Pag.10

4.4 Radio de convergencia. -------------------------------------------------------------------------- Pag.11-12

4.5 Serie de Taylor. ------------------------------------------------------------------------------------ Pag.13-14

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor. ----------------------------- Pag.15-17

4.7 Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. ------------- Pag.18-19

Conclusión. ----------------------------------------------------------------------------------------------- Pag.20

Bibliografía. ----------------------------------------------------------------------------------------------- Pag.21

Introducción

A continuación en este trabajo de investigación daré a conocer la unidad IV “Series” de Cálculo integral, se abordaran los temas:

Definición de serie, serie finitas, serie infinitas, serie numérica y convergencia, prueba de la razón (criterio D’Alembert) y prueba de la raíz (criterio de Cauchy), serie de potencias, radio de convergencia, serie de Taylor, representaciones de funciones mediante la serie de Taylor y cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.

En esta unidad veremos la importancia de saber manejar todo lo que se nos enseñó en las unidades pasadas y saber manejarlo para que no se nos presentes dificultades. Notarán que el uso de Límites es muy importante para resolver series ya que hacen que se puedan resolver de una forma más sencilla y toma menos tiempo. 

4.1 Definición de serie

Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión.

Así, de las sucesiones anteriores obtenemos las series

1+4+9+16+25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se llama una sucesión infinita o una serie infinita.

El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de la formación de los términos

Ejemplo:

En la primera sucesión anterior, el término general o término enésimo es n2. El primer término se obtiene haciendo n=1, el décimo termino haciendo n=10

∑_(i=1)^5▒i^2

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

∑▒a_n

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Las series aparecen en todas las ramas de las ciencias físicas, y la representación de funciones como series es una herramienta esencial para la resolución de muchos problemas físicos. Algunas funciones, como la función exponencial y otras funciones trascendentes, se definen mediante series, lo mismo que importantes cantidades físicas, como por ejemplo la función de partición en termodinámica estadística.

A menudo los métodos de resolución aproximados o numéricos se basan en series. Una aplicación importante de las series es el análisis de formas de onda mediante series de Fourier y transformadas de Fourier.

4.1.1 Serie finita

Una serie finita es una serie que contiene un número finito de términos o en otras palabras, contiene predefinido el primer y el último término.

Un ejemplo de serie finita podría ser de la forma:

∑_(i=1)^n▒〖a_1=〗 a_1+a_2+a_3+⋯+a_(n-1)+a_n

Aquí ‘i’ es el índice de la suma y toma los valores desde 1 (el límite inferior) hasta n (límite superior). a_i denota el término general.

Las series finitas son ampliamente utilizadas en el campo de la ciencia y las computadoras. Las series finitas contienen conceptos simples pero efectivos.

Existen dos tipos posibles de series finitas:

Series Aritméticas: Una sucesión aritmética tiene un número finito de términos que difieren en una cantidad constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 6, 8, 10…}. Una serie aritmética es simplemente la suma de la sucesión aritmética.

Series Geométricas: En una sucesión geométrica el cociente de 2 términos consecutivos es siempre una constante. Un ejemplo de tal secuencia puede ser {4, 8, 16…}. Una vez más una serie geométrica es sencillamente la suma de la sucesión geométrica.

Una serie puede converger en ciertos valores y en caso que no converja entonces se dice que la serie es divergente. Existen numerosas pruebas disponibles con el fin de encontrar el carácter convergente o divergente de la serie.

Propiedades de las series finitas:

1). La suma

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