El resumen del planteamiento y resolución de un problema de programación lineal

FASE 1

Basado en los problemas propios y propuestos en el trabajo colaborativo 1, el grupo debe desarrollarlos por le método simplex y hacer el planteamiento como DUAL a cada uno de los problemas propuestos. Estos problemas deben ser desarrollados sin la ayuda de ningún programa, debe ser con cálculos manuales.

Una empresa necesita producir tres piezas para luego ensamblarlas de tal forma que puedan adaptarse para elaborar cierto dispositivo electrónico.

Costos por pieza

1 $20.000 2 $50.000 3 $30.000

Cada pieza debe pasar por tres procesos de producción cada uno de esos procesos tiene un tiempo de utilización minima dada asi.

Proceso 1 Proceso2 Proceso3

36 horas /semana 40 horas/semana 30 horas/semana

Los tiempos en horas requeridas por cada unidad producida se dan de la siguiente matriz.

Proceso

I II III

La empresa requiere minimizar los cotos de producción de las 3 piezas. Se debe tener en cuenta que si se produce un número no entero de cada pieza, como el proceso es continuo, estas se van completando en la semana siguiente, a la que se inició la producción.

El planteamiento del problema es el siguiente.

1) Variables de decisión.

Sean x1 el número de piezas del tipo 1

X2 el número de piezas del tipo 2

X3 el número de piezas del tipo 3

2) La función objetivo será

Minimizar Z = 20.000 x1 + 50.000 x2 + 30.000 x3

3) Las restricciones son:

X1 + 2x2 + x3 ≥ 36 del proceso I

4x1 +x2 + 2x3 ≥ 40 del proceso II

3x1 + x2 + 4x3 ≥ 30 del proceso III

Y la restricciones de no negatividad es

X1 ≥ 0, x2 ≥ 0, xb ≥ 0

SOLUCION.

MIN Z : 20.000 X1 + 5.000 X2 + 30.000 X3

SQ : X1 + 2X2 + X3 ≥ 36

4X1 + X2 + 2X3 ≥ 40

3X1 + X2 + 4X3 ≥ 30

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0

PLANTIAMIENTO DEL PROBLEMA DUAL.

MAX W: 36Y1 + 40 Y2 + 30Y3

SQ: Y1 + 4Y2 + 3Y3 ≤ 20.000

2Y1 + Y2 + Y3 ≤ 50.000

Y1 + 2Y2 + 4Y3 ≤ 30.000

Y1, Y2, Y3 ≥

ITEREC V BASICA Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 B(SOLUCION

0 Z -36 -40 -30 0 0 0 0

SOLO S1 ENTRA Y2 S1

S2

S3 1

2

1 4

1

2 3

1

4 1

0

0 0

1

0 0

0

1 20.000

50.000

30.000

1

SOLO Y2 ENTRA Y1 Z -26 0 0 10 0 0 20.000

Y2 ¼ 1 ¾ ¼ 0 0 5.000

S2 7/4 0 ¼ -1/4 1 0 45.000

S3 ½ 0 5/2 -1/2 0 1 20.000

2 Z 0 104 78 36 0 0 72.000

Y1 1 4 3 1 0 0 20.000

S2 0 -7 -3/16 -11/16 1 0 10.000

S3 0 -2 1 -1 0 1 17.500

Se deberá fabricar 36 piezas de x1, 0 de x2 y 0 de x3.

EJERCICIO NUMERO DOS

El almacén de cadena Éxito solicita a su proveedor camisas y pantalones de línea clásica. Por la fabricación tanto de las camisas como los pantalones se obtiene una ganancia en ventas pero se consumen recursos tal cual como se indica en la siguiente tabla:

Proceso Consumo Unitario por Producto Tiempo Disponible por

Departamento (en Horas)

Camisa Pantalón

Corte 1 2 100

Confección 1 2 140

Contribución

Por producto (Ganancia) $3.600 $4.500

¿Qué cantidad de camisas y pantalones debe suministrar el proveedor a almacenes Éxito para que éste logre las mayores ganancias?

SOLUCION FORMA CANONICA

Se requiere plantear los siguientes elementos

1. Variables de Decisión: es decir, cuantas cantidades fabricará el proveedor de:

Camisas = X₁ Pantalones = X₂

2. Función Objetivo: (Maximizar las ganancias)

Z = $3600 X₁ + $4500 X₂

3. Restricciones:

Proceso Consumo Relación Disponible

Corte X₁+2 X₂ <= 100

Confección X₁+2 X₂ <= 140

DESARROLLO POR EL METODO SIMPLEX Y PLANTEAMIENTO DUAL

a. Pasamos las desigualdades que están en forma canónica a forma estándar (es decir a igualdades). Para esto agregamos unas variables superfluas o de holgura (que no son más que variables artificiales) a cada restricción para conseguir la igualdad. Así:

X₁+2 X₂+S₁=100

X₁+2 X₂+S₂=140

b. Agregamos las variables superfluas a la función objetivo con el fin de que no se altere dicha función:

Z = $3600 X₁ + $4500 X₂ + 0S₁ + 0S₂

c. Elaboramos las tablas Simplex para calcular el máximo de ganancias a obtener según el ejercicio propuesto

cj 3.600 4.500 0 0 b

X₁ X₂ S₁ S₂

0S₁ 1 2 1 0 100 50 Renglón Pivote

0S₂ 1 2 0 1 140 70

zj 0 0 0 0 0

cj-zj 3.600 4.500 0 0

Columna

Pivote

Multiplicamos el Renglón Pivote por su valor

cj 3.600 4.500 0 0 b asimétrico (-1) y luego restamos:

X₁ X₂ S₁ S₂ -1 1 2 1 0 100 Renglón Pivote

3600X₁ 1 2 1 0 100 + 1 2 0 1 140

0S₂ 0 0 -1 1 40 Resultado 0 0 -1 1 40

zj 3.600 7.200 3.600 0 360.000 Este resultado lo colocamos en 0S₂

cj-zj 0 -2.700 -3.600 0 en la tabla adyacente

En conclusión para la variable X₁, en el ejemplo de este caso obtendríamos una ganancia o utilidad de $360,000 por 100 camisas fabricadas.

PROBLEMA 3.

Para la producción de carne de gallina y de conejo la empresa tiene 2 secciones una de crianza y la otra de alistamiento donde se sacrifican y se alistan el pollo y el conejo.

Un pollo consume 2800$ en crianza y 1300$ en alistamiento para dar una ganancia de 5000$, mientras que un conejo consume 4100$ en crianza y 1000$ en alistamiento produce una ganancia de 5300$.

Para la alimentación de las dos especies se disponen de 4200000$ y para la de alistamiento 1800000$. Cuanto pollo y conejo se debe producir para obtener la mayor ganancia.

ECUACIONES DE FORMA CANONICA

Si X1= GALLINA, X2 =CONEJO y se busca es maximizar entonces.

Función objetivo:

Z=5000 X1+5300 X2

Restricciones

2800 X1 + 4100 X2 <= 4200000

1300 X1 + 1000 X2 <= 2800000

GALLINAS CONEJOS

ALIMENTO 2800 4100 4200000

ALISTAMIENTO 1300 1000 1800000

GANACIAS 5000 5300

SIMPLEX

Igualando a cero y a agregando variables de holgura

Z-5000 X1-5300X2 =0

2800X1 + 4100X2 +S1 = 4200000

1300 X1 + 1000X2 S2= = 1800000

Tabla

X1 X2 S1 S2 Z B

S1 2800 4100 1 0 0 4200000

S2 1300 1000 0 1 0 1800000

Z -5000 -5300 0 0 1 0

Hallando columna y fila pivote.

4200000/4100=1024,39 1800000/1000=1800

X1 X2 S1 S2 Z B

S1 2800 4100 1 0 0 4200000

S2 1300 1000 0 1 0 1800000

Z -5000 -5300 0 0 1 0

Para obtener 1 en el pivote S1(1/4100)

X1 X2 S1 S2 Z B

S1 0,6829 1 0,00024 0 0 1024,39

S2 1300 1000 0 1 0 1800000

Z -5000 -5300 0 0 1 0

Para llevar a cero la columna pivote

S2 = -1000(S1) +S2

Z = 5300(S1)+Z

X1 X2 S1 S2 Z B

X2 0,6829 1 0,00024 0 0 1024,39

S2 617,073 0 -0,2439 1 0 775609,7561

Z -1380,487 0 1,2926 0 1 5429267

Hallando columna y fila pivote.

4200000/41÷28/41 = 1500 31800000/41÷25300/41=1256,91

X1 X2 S1 S2 Z B

X2 0,6829 1 0,00024 0 0 1024,39

S2 617,073 0 -0,2439 1 0 775609,7561

Z -1380,487 0 1,2926 0 1 5429267

Para obtener 1 en el pivote S2(41/25300)

X1 X2 S1 S2 Z B

X2 0,6829 1 0,00024 0 0 1024,39

S2 1 0 -0,00039 0,0016 0 1256,91

Z -1380,487 0 1,2926 0 1 5429267

Para llevar a cero la columna pivote

X2 = -0,6829(S2) +X2

Z = 1380,487(S2)+Z

X1 X2 S1 S2 Z B

X2 0 1 0,00051 -0,0011 0 166,007

X1 1 0 -0,00039 0,0016 0 1256,91

Z 0 0 0,7470 2,23 1 7164414,915

COMO NO HAY VALORES NEGATIVOS LA RESPUESTA ES

X1= 1256,91

X2=166,007

Z=7164414,915

Si tomamos los valores enteros entonces se tiene que se maximizan los ingresos si se comercializan 1256 gallinas y 166 conejos

1256(2800) + 166(4100)= 4197400 en alimento

1256(1300) + 166(1000) = 1798800 en alistamiento

Las utilidades al vender será cantidad de gallinas y conejos la rentabilidad es 7159800.

PANTEAMIENTO SIMPLEX DUAL

Función objetivo: Minimizar

W=4200000 Y1+1800000 Y2

Restricciones

2800 Y1 + 1300 Y2 >=5000

4100 Y1 + 1000 Y2 >= 5300

• Planteamiento Ervin Hernán Carvajal Rodríguez

Para el caso se modifica el problema planteado en la ACT. 6 /TC-1, en razón a que en la valoración realizada por el tutor se enuncia “El planteamiento del problema en forma matemática está mal planteado, falta la función objetivo.”, por lo se presenta otro problema.

En

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