El término álgebra

ÁLGEBRA

Definición:

Introducción:

El término álgebra viene del título de la obra al-jebr w'al-muqabalah, del matemático árabe Mahommed ibn Musa al-Kharizmi, que significa Mahommed, hijo de Musa, natural de Kharizm (actualmente Jiva, Uzbekistan).

La obra al-jebr w'al-muqabalah fue traducida al latín, por primera vez, en la Escuela de Traductores de Toledo y tuvo mucha influencia en las matemáticas de la época. La traducción del título de la obra era complicado, por lo que los traductores optaron por latinizar el título, convirtiéndolo en aljeber que acabó derivando en el actual álgebra.

La palabra jebr se refiere a la operación de pasar al otro lado del igual un término de una ecuación y la palabra muqabalah se refiere a la simplificación de términos iguales.

El término utilizado para referirse a la incógnita era shay que significa cosa en árabe y en las traducciones latinas se tradujo por res (cosa en latín), y por eso, a las personas que resolvían ecuaciones se les llamaba cosistas.

En España, donde la influencia árabe fue muy importante, surgió el término álgebra, se utilizó para referirse al arte de restituir a su lugar los huesos dislocados y el término algebrista que era la persona que sabía arreglar las dislocaciones.

Otro libro de al-Kharizmi fue De numero indiorum (Sobre los números hindúes). En este libro se dan las reglas para hacer las operaciones aritméticas. Estas reglas se denominaron como las reglas de al-Kharizmi y por deformación de la palabra llegó al término actual algoritmo.

El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones.

Una de las características del álgebra es que utiliza símbolos para representar números.

El álgebra actual trata con entidades mas generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas). Esta nueva álgebra se debe a Galois.

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra es un teorema sobre la resolución de ecuaciones.

Sea la ecuación x + a = b. donde a y b son números Naturales. En este caso, no siempre la solución pertenece a los números Naturales (por ejemplo, cuando a = 5 y b = 1, la solución es x = -4, que no es un número Natural).

Sea la ecuación x + a = b. donde a y b son números Enteros. En este caso, la solución siempre pertenece a los números Enteros.

Sea la ecuación ax + b = 0. donde a y b son números Enteros. En este caso, no siempre la solución pertenece a los números Enteros (por ejemplo, cuando a = 3 y b = 2, la solución es x = -2/3, que no es un número Entero).

Sea la ecuación ax + b = 0. donde a y b son números Racionales. En este caso, las olución siempre pertenece a los números Racionales.

Sea la ecuación x2 = 2. La solución de esta ecuación no pertenece a los números Racionales sino a los números Reales.

Sea la ecuación x2 + 1 = 0, la solución de esta ecuación pertenece a los números Complejos.

Pues bien, el teorema fundamental del álgebra establece que cualquier ecuación polinómica, P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a0 = 0, de grado mayor que 1, con coeficientes complejos, tiene solución, y esta solución pertenece a los números complejos.

HISTORIA DEL ALGEBRA

ÁLGEBRA

Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es 32; de la misma manera, a × a es igual que a2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

Historia

La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy se enseñan. También fueron capaces de resolver algunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, aunque el libro Las aritméticas de Diofante es de bastante más nivel y presenta muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difíciles. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se le llamó "ciencia de reducción y equilibrio". (La palabra árabe al-jabru que significa ‘reducción’, es el origen de la palabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwrizm; escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra, una presentación sistemática de la teoría fundamental de ecuaciones, con ejemplos y demostraciones incluidas. A finales del siglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enunció y demostró las leyes fundamentales e identidades del álgebra, y resolvió problemas tan complicados como encontrar las x, y, z que cumplen x + y + z = 10, x2 + y2 = z2, y xz = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones

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