Funcion Cuadratica Aplicada A Puentes Colgantes

Introducción:

Un puente colgante es un puente sostenido por un cable que tiene forma de una parábola, el tablero del puente se sujeta al cable por medio de tiras verticales.

Figura 1 (Infovisual, 2013)

En la figura 1 podemos ver que el puente colgante tiene como base dos pilones que sostienen un cable de acero, este cable de acero en forma de arco tiene la forma de una parábola. Esta parábola es una función cuadrática de la forma g(x)= ax²+c. tomando como x=0 el espejo de agua del río. Para que esta función tenga un gráfico válido para la construcción de un puente se tiene que cumplir la condición que a>0 y c >0. Esta parábola está dada en un plano imaginario en el cual el eje x pase por la superficie del rio y el eje y sea delimitado por el eje de simetría x=0.

Un puente colgante tiene muchas medidas y datos pero para esta exploración tomaremos los datos pertinentes que son: la distancia entre los pilones, la altura de los mismos y el corte con el eje y. Estos datos determinarán las transformaciones que se tuvieron que hacer sobre f(x)= x² para que se forme la parábola que determine la función cuadrática de la catenaria del puente estudiado. El puente que va a ser estudiado es un puente que sostiene un oleoducto de petróleo, y el mismo se encuentra en El Coca, dentro de la Amazonía ecuatoriana, en la figura 2 podemos ver al puente

Figura 2

En la figura 2 podemos ver los planos del puente que vamos a estudiar. La línea azul es el cable que sostiene al puente colgante, dicho cable se llama catenaria, y en esta exploración se buscará sacar la función cuadrática de dicha catenaria, y que datos hicieron que exista un cambio de f(x)= x² a la función que delimita la parábola del puente.

Transformaciones de Funciones

Figura 3 (Anno69, 2007)

En primer lugar sabemos que la parábola de la función f(x)= x² se presenta en el plano como se ve en la figura 3, y la catenaria que se encuentra en el puente colgante tendría la forma g(x)= ax²+c, tendría la forma de la parábola en la figura 2

Sabemos que el vértice será el punto mínimo de esta función porque en un puente colgante no puede existir una parábola negativa por lógicas razones, así que la primera conclusión que sacaremos es que en un puente colgante la parábola siempre será positiva, esto quiere decir que la función está dada por +f(+x) y nunca sus signos cambiarán. También podemos evidenciar a simple vista que si el eje x cruza por el espejo de agua del río, la catenaria o arco del puente estará más arriba. Al estar el vértice de f(x)= x² en las coordenadas (0;0). En g(x)= ax²+c, el valor de c hará que las coordenadas sean (0;c) ya que c es representa al corte con el eje y. Al tener el vértice un punto en y>0 ocurrirá una translación vertical de la función como podemos ver en la figura 4. En la cual la parábola negra es f(x)= x² la roja es g(x)= x²-c y la azul es h(x)= x²+c que es la primera transformación de la función del puente

Figura 4 (Mathbas, 2008)

La segunda transformación en la función será un estiramiento en x, el estiramiento o compresión de la función esta dado en g(x)=ax² por a, que como vimos antes tiene que ser 0<a<1 esto indicará si x se comprime o se estira dependiendo de si a<1 o a>1 cuando a es mayor a 1 la función se comprime en x, así que para un estiramiento será todo lo contrario, a<1. Como podemos ver en la figura 5 se comprime o se alarga dependiendo de a, esto se da porque los valores en y de la función f(x)= x² se deben multiplicar por el valor de a para obtener los nuevos valores de y en la función g(x)= ax².

Figura 5 (maths, 2012)

Ahora que sabemos las condiciones para las que la función está delimitada. Podemos proseguir y aplicar el proceso previamente mencionado en la función del puente que sostiene al oleoducto, y a dicha función la llamaremos l(x).

Recapitulando los datos que tenemos del puente (la función cuadrática) son:

El eje x está delimitado por el espejo de agua del río

El eje y es el eje de simetría en la función

La altura máxima de los brazos de la parábola son: 9,76m. Que en el plano se traducen a 9,76 y 9,76 en el eje de las y

La distancia entre los 2 brazos de la función son 44m. Si el eje de simetría está a la mitad de la función, al no haber una traslación horizontal el eje de simetría será 0. En el plano esto se convierte en 22 y -22 en el eje de las x

El punto mínimo de la función o vértice está determinado por (0; 1,2)

Los brazos de la parábola son: (22; 9,76) punto máximo y (-22; 9,76) punto mínimo

Figura 6

La figura 6 muestra el puente colgante con las medidas pertinentes dejando un poco más claro al lector el puente mediante la eliminación de datos inútiles que se encontraban en el plano del puente.

Transformaciones de Funciones Aplicadas al Puente Colgante Estudiado

Como se puede ver en la figura 6, el vértice de la función se encuentra en el punto 1,2 en el eje de las y. Esto

...