Funcion Delta Dirac

Función delta de dirac

La delta de Dirac fue introducida por Dirac en los años 20 del siglo pasado y ha sido utilizada extensivamente por los físicos desde entonces.

Su formalización matemática ocurre bastante después, hacia los años 50, por Laurent Schwartz con la introducción de la teoría de Funciones generalizadas o distribuciones.

En esta sección revisaremos algunas nociones acerca de esta función sin profundizar demasiado en sus aspectos formales.

La delta de Dirac es introducida para representar cierto tipo de infinitos y sus argumentos son variables reales. Ella se denota mediante la letra griega δ y se define mediante:

∫_(-∞)^∞▒█(δ(x)=0@δ(x)dx=1) Para x≠0

Para hacerse una idea, se trata de una función que es nula en todo el espacio salvo en las vecindades de x = 0, donde se hace infinita.

La delta de Dirac no es una función pues no tiene imagen definida. Su significación se manifiesta en el contexto de integrales. Por tal motivo Dirac denomino a δ (x) una función impropia.

Una propiedad importante que emerge de su definición es la relación

∫_(-∞)^∞▒〖f(x)δ(x)dx=f(0)〗

En efecto,

∫_(-∞)^∞▒〖f(x)δ(x)dx=〗 ∫_(-∞)^∞▒〖f(0)δ(x)dx= 〗 f(0) ∫_(-∞)^∞▒〖δ(x)dx=〗 f(0)

De este resultado es inmediato verificar entonces que:

∫_(-∞)^∞▒〖f(x)δ(x-a)dx=〗 f(a)

- Estos resultados son también validos cuando f representa vectores u operadores.

- Con respecto a los límites de integración, estos no necesariamente deben ir desde -∞ a ∞ pudiendo también ser finitos.

- Por simplicidad en la escritura omitiremos los límites de las integrales en el subentendido de que ellos no son ambiguos.

Propiedades:

δ(-x)=x

xδ(x)=0

δ(ax)=1/|a| δ(x)

δ(x^2-a^2 )= 1/2|a| [δ(x-a)+δ(x+a) ]

f(x)δ(x-a)=f(a)δ(x-a)

∫▒〖δ(a-x)δ(x+b)dx=δ(a-b)〗

∫▒〖δ^' (x)f(x)dx=-f^' (0)〗

〖xδ〗^' (x)=-δ(x)

δ[f(x)]=∑_k▒█(1/|f^' (x_k | δ(x-x_k ) con f(x_k )=0@)

Gráficamente

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