Funciones Unimodales

 Método de búsqueda de Fibonacci

El método de búsqueda de Fibonacci es utilizado para obtener un punto óptimo en funciones no diferenciables en un intervalo [A, B]. Este método es muy eficiente para aproximar, bajo cierto margen de error, un punto máximo o mínimo en funciones Unimodales de una sola variable. Para aplicar este método debe establecerse el rango inicial de búsqueda y en cada evaluación el método tiende a acorralar el punto óptimo.

Se trata pues, de determinar el mínimo (máximo) de una Función univariante y unimodal, definida en un intervalo cerrado [A, B] también denominado intervalo de incertidumbre inicial.

La relación recursiva que define la serie de Fibonacci es la siguiente:

Función de Fibonacci

La secuencia de números de Fibonacci es por lo tanto:

A partir de esta relación se estructura el método de búsqueda de Fibonacci que será explicado a continuación.

Sean:

• L0 = b-a longitud del intervalo de incertidumbre inicial

• Ln = Longitud del intervalo de incertidumbre después de n evaluaciones

• Xn = Valor de la variable x después de n evaluaciones

• Fn = Valor de la F .O. en x.

• A valor de resolución (mínima distancia entre xn y xn-1)

• N = n° de evaluaciones a realizar de f.

El método se fundamenta en la eliminación de regiones en las que no pueda encontrarse el óptimo, tomando de la manera más conveniente una sucesión de puntos en los que se evalúa f hasta alcanzar N evaluaciones previamente establecidas. Se trata de minimizar Ln.

Búsqueda del máximo de F entre a y b

El método de Fibonacci adolece de dos graves defectos: únicamente sirve para para funciones Unimodales y únicamente sirve para para funciones de una sola variable Si la función de una sola variable es bimodal (que la función tiene dos óptimos locales o relativos) o multimodal (quiere decir que la función tiene varios óptimos locales o relativos), este método sólo localizará un óptimo local o relativo. Su gran ventaja es que se le utiliza como una subrutina de búsqueda en los métodos de optimización de problemas no restringidos en funciones de varias variables.

• Ejemplo:

Hallar el mínimo de la función F(x)= x2-4x-12, con un error menor que una décima.

A continuación se calcula la efectividad máxima

El número de iteraciones a realizar será de 11, ya que:

F11 = 144 > 100

Iteración 1

Iteración 2

Iteración 3

En la tabla se muestra los puntos obtenidos en cada una de las restantes iteraciones, así como el valor de la función en cada uno de ellos.

Por lo tanto el punto óptimo será:

X= 2,01389

 Método de búsqueda por la Sección Dorada

Uno de los métodos más efectivos para optimizar problemas de una variable es el conocido como Sección Dorada o Sección Áurea. El método se basa en la colocación de puntos de búsqueda simétricos, de tal manera que en cada iteración, el punto que se conserva sirve como base para la selección del nuevo punto, el cual a su vez debe conservar la simetría original, pero acotando la solución óptima dentro de un intervalo de búsqueda menor. La idea básica es economizar el número de evaluaciones de función y acotar la solución óptima en intervalos anidados sucesivos.

Este método también requiere que la función sea de una sola variable y unimodal. Si el rango de incertidumbre original es [a‘, b‘], el proceso reduce este intervalo, en

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