Funciones de varias variables.

Funciones de varias variables

En esta unidad se generaliza el concepto de derivada al caso de funciones de más de una variable. Esto tiene aplicaciones al cálculo de razones de cambio, máximos y mínimos y aproximaciones usando diferenciales.

3.1 Definición de una función de dos variables.

Las funciones que tienen una sola variable independiente tienen muchas aplicaciones; sin embargo en algunos problemas aparecen varias variables independientes:

El área de un rectángulo depende de dos cantidades, la longitud y la anchura.

Si un objeto se halla en el espacio, entonces la temperatura de un punto P en el objeto puede depende de tres coordenadas rectangulares x, y, z de P.

Si la temperatura de un objeto en el espacio varía en el tiempo, entonces se tienen cuatro variables x, y, z y t.

El dominio D de la definición anterior se puede representar por puntos en un plano xy y el contradominio por puntos en una recta real, por ejemplo un eje w, como se ilustra en la figura 3.1. Hay varias flechas que van de los pares ordenados en D a los números correspondientes en el contradominio. Como aplicación consideremos una lámina delgada de metal que tiene la forma de D. A cada punto (x, y) de la lámina le corresponde una temperatura f(x, y) que puede medirse con un termómetro y se representa en el eje w.

También podría pensarse que D es la superficie de un lago y f(x, y) la profundidad del agua

bajo el punto (x, y). Hay muchas otras interpretaciones físicas de la definición.

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