Variables; Funciones y Límites

CALCULO DIFERENCIAL

Variables; Funciones y Límites

Variable

Variable es una cantidad a la que se le puede asignar durante un proceso un numero ilimitado de valores.

Se representan usualmente por las ultimas letras del alfabeto,x,y,z

Constante

Constante es una cantidad que tiene un valor determinado..

Las constantes pueden ser:

• Numéricas: cuando conservan su valor en todos los problemas.  Ejemplo: 3,19, etc.
• Arbitrarias: son aquellas que están representadas por las primeras letras del alfabeto (a,b,c) y se les puede asignar diferentes valores numéricos.

Intervalo de una variable

Podemos hacer que una variable tome solamente valores comprendidos entre a y b: este sería el intervalo de la variable y se representa así:

[a,b]  la variable toma valores entre a y b; incluido a y b.

(a,b]  la variable toma valores entre a y b; incluido b.

[a,b)  la variable toma valores entre a y b; incluido a.

(a,b)  la variable solo puede tomar valores comprendidos entre a y b.

Las variables se clasifican en:

• Independientes: cuando se les asigna cualquier valor (dominio).
• Dependientes: cuando su valor depende del asignado a la variable independiente, también se la conoce como rango.

Funciones

Cuando entre 2 variables existe una relación de tal manera que el valor de la primera depende del valor que se le asigna a la segunda, se dice que la primera es función de la segunda.

Función es una relación en la que; a cada elemento del dominio, le corresponde solamente un elemento en el codominio o rango.

Para representar una función se utiliza el símbolo f(x) y se lee función de x.  Cuando necesitamos representar diferentes funciones cambiamos simplemente la letra g(x); h(t).  La letra entre paréntesis nos indica la variable independiente.

Ejemplo:

f(x) = x2-5x+4

Ley de Funcionalidad

Las funciones obedecen a la siguiente ley:

Durante un proceso el mismo símbolo de funcionalidad indicara la misma ley de dependencia entre la función y la variable independiente.

Ejemplo:

f(x) = 3x2 + 4x -8

f(2) = 3(2)2 + 4(2) -8

f(a) = 3(a)2 + 4(a) -8

f(a+1) = 3(a+1) 2 + 4(a+1) -8

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Dado f(x)   = x3 - 4x2 -3x+1,  hallar

             f(2)   = 23 – 4(2)2 -3(2)+1 = 8-16-6+1 = -13

     f(-1)  = -13 – 4(-1) 2 -3(-1) +1 = -1-4+3+1 = -1

2.- Dado f(x)   = 3x2 +5x2 -2,  hallar

f(x+h) = 3(x+h)2 + 5 (x+h) -2

f(x+h) = 3x2 + 6xh + 3h2 + 5x+5h -2

EJERCICIOS POR RESOLVER

1.- Dado f(x) = 4-2x2+x4.  Calcular: f(0), f(1), f(-1); f(2)

2.- Dado f(θ) = Sen 2θ + Cos θ.  Hallar: f(0); f( [pic 1]  ) ; f(π)

3.- Dado f(y) = y2-2y+6.  Hallar f(y+h)

4.- Dado f(x) = [pic 2].  Hallar f(0); f(-1); f(x+h)

5.- Dado f(x) = 2x.  Demostrar que f(x+3) - f(x-1) = 15  f(x)

                                                                    2

                                         f(x+3)[pic 3]

         f(x-1)

6.- Dado f(x) = 7x2-3x+4.  Hallar: f(x+h) - f(x)

7.- Dado f (x)= x3-5x2+4x.  Hallar:  [pic 4]

8.- Determinar el dominio y rango de las siguientes funciones:

y=x2+4

y=[pic 5]

y=[pic 6]

y=[pic 7]

LIMITES

Limite de una variable

Si para una variable existe una constante como límite, entenderemos que la variable puede tomar diferentes valores que se vayan aproximando a la constante, pero sin llegar a tomar ese valor.  Por otro lado la diferencia entre la constante y la variable se va haciendo cada vez más pequeña; pudiendo llegar a ser menor que cualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.

El límite de una variable se expresa así v→l; que se lee v tiende como límite a l, o una forma más corta, v tiende a l.

Ejemplo:

Si v→4, debemos entender que v puede tomar diferentes valores que se van aproximando a 4 pero no vale 4.

Límite de una función

Dado que la función depende de la variable independiente y si esta tiende a una constante como límite; es lógico suponer que la función también tenderá a otra constante como límite.

Si y= f(x) y si x→a; entonces y→b y esto se expresa:

...