Funciones en dos variables.
Enviado por camidh • 3 de Octubre de 2016 • Resúmenes • 4.476 Palabras (18 Páginas) • 265 Visitas
Definición de Funciones en Dos Variables.
Definición 1: | Supongamos que [pic 1] es un conjunto de n pares ordenados de números reales de la forma . Una función de valores reales [pic 3] sobre es una regla que asigna un número real a cada elemento en [pic 6]. El conjunto [pic 7] es el dominio de la función. El conjunto de valores tomados por [pic 9]es el recorrido de la función. El símbolo (letra) es la variable dependiente de [pic 11] y se dice que [pic 12] es una función de las dos variables independientes: e .[pic 2][pic 4][pic 5][pic 8][pic 10][pic 13][pic 14] |
Llamaremos también a e , las variables de entrada de la función [pic 17] y a la variable de salida de la función.[pic 15][pic 16][pic 18]
Derivadas Parciales.
En las funciones de una sola variable, la derivada representa la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente respecto al que se opera en la variable independiente. En la función de dos variables, también es posible definir la derivada. Nos centraremos en las derivadas parciales que representan la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente, pero con respecto a los cambios de las dos variables independientes, tomadas por separado.
En una función [pic 19], puede calcularse una derivada parcial respecto a cada variable independiente.
Procedimiento para encontrar y :[pic 20][pic 21]
- Para encontrar , considera a la variable [pic 23] como constante y derive la función con respecto a la variable de la manera usual.[pic 22][pic 24][pic 25]
- Para encontrar , considera a la variable como constante y derive la función con respecto a la variable [pic 29] de la manera usual.[pic 26][pic 27][pic 28]
Note que tanto y [pic 31] son cada una de ellas funciones de las dos variables: e [pic 33].[pic 30][pic 32]
Ejemplo 1: Dada la función [pic 34].
- Primera derivada parcial con respecto a es .[pic 35][pic 36]
- Primera derivada parcial con respecto a [pic 37] es [pic 38]
Ejemplo 2: Dada la función . Obtener [pic 40] y [pic 41].[pic 39]
- .[pic 42]
- [pic 43].
En la siguiente tabla se dan las notaciones para las derivadas parciales de una función :[pic 44]
Derivada parcial de la función o bien con respecto a la variable ,[pic 45][pic 46][pic 47] | Derivada parcial de la función o bien con respecto a la variable [pic 50],[pic 48][pic 49] | |
[pic 51] [pic 52] [pic 53] [pic 54] | [pic 55] [pic 56] [pic 57] [pic 58] |
Derivadas Parciales de Segundo Orden
Igual que en el caso de las funciones de una sola variable, podemos determinar derivadas de segundo orden para las funciones de dos variables. Estas serán de mucha importancia cuando tratemos de optimizar el valor de una función.
Si [pic 59], entonces no sólo es una función de las variables [pic 61] e , también y [pic 64] lo son. Por lo tanto, podemos derivar y [pic 66] para obtener las derivadas parciales de segundo orden de la función .[pic 60][pic 62][pic 63][pic 65][pic 67]
Existen cuatro derivadas de segundo orden. Estas derivadas son usualmente denotadas por , , y [pic 71]:[pic 68][pic 69][pic 70]
significa: [pic 73], significa: [pic 75], [pic 76] significa: [pic 77], significa: .[pic 72][pic 74][pic 78][pic 79]
Nota: Para encontrar derivamos primero con respecto a la variable , luego respecto a la variable .[pic 80][pic 81][pic 82]
En términos de la notación se tiene la notación y significado siguiente:[pic 83]
[pic 84]
[pic 85]
[pic 86]
[pic 87]
Nota: Para obtener: [pic 88] derivamos primero con respecto a la variable , luego respecto a la variable .[pic 89][pic 90]
Ejemplo: Sí . Obtener las cuatro derivadas parciales de segundo orden.[pic 91]
Como [pic 92], entonces .[pic 93][pic 94]
También , entonces [pic 97].[pic 95][pic 96]
Las derivadas [pic 98] y se llaman derivadas parciales mixtas.[pic 99]
Podemos observar en el ejemplo anterior que [pic 101]. Bajo ciertas condiciones, las derivadas parciales mixtas de una función de dos variables son iguales; esto es, el orden de la derivada es irrelevante. Esto puede ser ventajoso en algunos casos.[pic 100]
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