Funciones en dos variables.

Definición de Funciones en Dos Variables.

Llamaremos también a  e , las variables de entrada de la función [pic 17] y a  la variable de salida de la función.[pic 15][pic 16][pic 18]

Derivadas Parciales.

En las funciones de una sola variable, la derivada representa la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente respecto al que se opera en la variable independiente. En la función de dos variables, también es posible definir la derivada. Nos centraremos en las derivadas parciales que representan la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente, pero con respecto a los cambios de las dos variables independientes, tomadas por separado.

En una función [pic 19], puede calcularse una derivada parcial respecto a cada variable independiente.

Procedimiento para encontrar  y :[pic 20][pic 21]

1. Para encontrar , considera a la variable [pic 23] como constante y derive la función  con respecto a la variable  de la manera usual.[pic 22][pic 24][pic 25]
2. Para encontrar , considera a la variable  como constante y derive la función  con respecto a la variable [pic 29] de la manera usual.[pic 26][pic 27][pic 28]

Note que tanto  y [pic 31] son cada una de ellas funciones de las dos variables:  e [pic 33].[pic 30][pic 32]

Ejemplo 1:        Dada la función        [pic 34].

1. Primera derivada parcial con respecto a  es .[pic 35][pic 36]
2. Primera derivada parcial con respecto a [pic 37] es [pic 38]

Ejemplo 2:        Dada la función        . Obtener [pic 40] y [pic 41].[pic 39]

1. .[pic 42]
2. [pic 43].

En la siguiente tabla se dan las notaciones para las derivadas parciales de una función :[pic 44]

Derivadas Parciales de Segundo Orden

Igual que en el caso de las funciones de una sola variable, podemos determinar derivadas de segundo orden para las funciones de dos variables. Estas serán de mucha importancia cuando tratemos de optimizar el valor de una función.

Si [pic 59], entonces no sólo  es una función de las variables [pic 61] e , también  y [pic 64] lo son. Por lo tanto, podemos derivar  y [pic 66] para obtener las derivadas parciales de segundo orden de la función .[pic 60][pic 62][pic 63][pic 65][pic 67]

Existen cuatro derivadas de segundo orden. Estas derivadas son usualmente denotadas por , , y [pic 71]:[pic 68][pic 69][pic 70]

 significa: [pic 73],         significa: [pic 75],        [pic 76] significa: [pic 77],         significa: .[pic 72][pic 74][pic 78][pic 79]

Nota:        Para encontrar  derivamos primero con respecto a la variable , luego respecto a la variable .[pic 80][pic 81][pic 82]

En términos de la notación  se tiene la notación y significado siguiente:[pic 83]

[pic 84]

[pic 85]

[pic 86]

[pic 87]

Nota:        Para obtener: [pic 88] derivamos primero con respecto a la variable , luego respecto a la variable .[pic 89][pic 90]

Ejemplo:        Sí . Obtener las cuatro derivadas parciales de segundo orden.[pic 91]

Como [pic 92], entonces                        .[pic 93][pic 94]

También , entonces                        [pic 97].[pic 95][pic 96]

Las derivadas [pic 98] y  se llaman derivadas parciales mixtas.[pic 99]

Podemos observar en el ejemplo anterior que [pic 101]. Bajo ciertas condiciones, las derivadas parciales mixtas de una función de dos variables son iguales; esto es, el orden de la derivada es irrelevante. Esto puede ser ventajoso en algunos casos.[pic 100]

1. Halle las derivadas parciales: [pic 102] y  en las siguientes expresiones:[pic 103]

                 2      Si: [pic 106], probar que                [pic 107]

Valores extremos para Funciones de Dos Variables

Extenderemos los conceptos de máximos y mínimos relativos o valores extremos relativos para funciones de dos variables.

Punto Crítico:

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