Funciones de Varias Variables
reoliveraApuntes1 de Septiembre de 2015
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Funciones de
Varias
Variables
Índice
1Introducción
1.1 Definición
1.2 Punto
1.3 Distancia entre dos puntos
1.4 Vecindad de Q
1.5 Punto frontera
1.6 Punto interior
1.7 Punto exterior
1.8 Conjunto Abierto
1.9 Conjunto cerrado
1.10 Definición: Límite de una función en un punto
1.11 Propiedades
1.12 Definición: Continuidad
1.13 Propiedades:
1.14 Ejercicios
2 Derivadas parciales
2.1 Definición
2.2 Ejemplo
2.3 Nota
2.4 Interpretación de las derivadas parciales
2.5 Ejemplo
2.6 Interpretación de la pendiente fx y fy.
2.7 Derivadas de segundo orden.
2.8 Teorema de Young
2.9 Interpretación de la derivada de segundo orden
2.10 Ejercicios
3 Optimización de funciones de dos variables.
3.1 Puntos Críticos
3.2 Definición: Máximo relativo
3.3 Definición: Mínimo relativo.
3.4 Condición necesaria de extremos relativos
3.5 Ejemplo
3.6 Clasificación de los puntos críticos
3.7 Ejercicios
4 Aplicaciones de la optimización bivariada.
4.1 Ejemplo:
4.2 Ejemplo:
4.3 Ejemplo:
4.4 Ejercicios
- Introducción
- Definición
Una magnitud variable z se denomina función uniforme de dos variables x e y, si a cada conjunto de valores (x,y), corresponde un único valor y determinado de z. Las variables x e y se denominan variables independientes .Se representa:
Z=f(x,y)[pic 2]
- Punto
Una terna (x,y,z) representa un punto en el espacio R3 .
- Distancia entre dos puntos
[pic 3]
[pic 4]
- Vecindad de Q
La vecindad ε de Q =(a,b,c) consiste en los puntos P =(x,y,z) para los cuales PQ<ε.Estos puntos forman una bola dada por la desigualdad:
[pic 5]
- Punto frontera
Un punto P es un punto frontera de un conjunto S de puntos si cada vecindad de P contiene tantos puntos que pertenecen a S como puntos que no pertenecen a S.
- Punto interior
Un punto P es interior si cada vecindad de P contiene únicamente punto de S.
- Punto exterior
Un punto P es exterior si cada vecindad de P está completamente libre de puntos de S.
- Conjunto Abierto
Un conjunto S de puntos es abierto si ningún punto frontera de S pertenece a S.
- Conjunto cerrado
Un conjunto S de puntos es cerrado si contiene a su frontera.
- Definición: Límite de una función en un punto
f tiene el límite L cuando (x,y) tiende a (a,b) y se escribe:
[pic 6]
si para cada ε>0, existe δ>0, tal que para todo P=(x,y) que pertenezca a la vecindad de Q=(a,b) se verifica que f(P) pertenece a la vecindad de f(Q), es decir [pic 7]
- Propiedades
- [pic 8]
- [pic 9]
- [pic 10]
- [pic 11]
- [pic 12]
- [pic 13]
- [pic 14]
- [pic 15]
- Definición: Continuidad
Una función f es continua en (a,b) si y sólo si [pic 16]
- Propiedades:
Si f y g son funciones continuas en (a,b) entonces:
f±g es continua en (a,b) | |
f.g es continua en (a,b) | |
k.f es continua en (a,b) | |
f/g es continua en (a,b) si g(a,b)≠0 |
- Ejercicios
Hallar f( ½,3) y f(1,-1) si [pic 17] | Hallar [pic 18] | ||
Hallar los valores que toma la función f(x,y)=1+x-y en los puntos de la parábola y=x2, y construir la gráfica de la función f(x,x2) | Hallar el valor de la función:[pic 19] en los puntos de la circunferencia x2+y2=r2 | ||
Determinar f(x), si [pic 20] (xy>0) |
Hallar y representar los campos de existencia de las siguientes funciones:
[pic 21] | [pic 22] | ||
[pic 23] | [pic 24] | ||
[pic 25] | [pic 26] |
Construir las líneas de nivel de las funciones siguientes
z=x+y | [pic 27] | ||
z=x2+y2 | z=(1+x+y)2 | ||
[pic 28] | [pic 29] |
- Derivadas parciales
En las funciones de una sola variable, la derivada representa la tasa instantánea de cambio de la variable dependiente respecto al que se opera en la variable independiente. En las funciones de dos variables, también es posible definir las derivadas.
Las derivadas parciales representan la tasa instantánea de cambio en la variable dependiente, en función de los cambios de las dos variables independientes, tomadas por separado.
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