INTEGRALES MÚLTIPLES

INTEGRALES MÚLTIPLES

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f(x,y) ó f(x,y,z). De la misma manera en que la integral de una función positiva f(x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f(x,y) de dos variables, definida en una región del plano x,y, se puede interpretar cómo el volumen entre la superficie definida por la función y el plano x,y en ese intervalo.

5.1.- INTEGRALES ITERADAS.

Suponemos que z = f(x, y) es continua en cada (x, y)  F. Formemos la integral simple con respecto a x donde se mantiene fijo Y al realizar la integración.

Naturalmente, el valor de la integral anterior dependerá del valor utilizado para Y o sea que podemos escribir:

La función A (y) está definida para c  y  d y se puede demostrar que si f(x, y) es continua en F entonces A (y) es continua en [c, d].

Z z = f(x, y)

A (y)

0

y

y = c y=d

x=a

x F

x=b

Se puede calcular la integral de A (y) y se escribe

Podríamos haber fijado primero x, luego formar la integral entonces

Obsérvese que las integrales se calculan sucesivamente por lo que reciben el nombre de Integrales iteradas.

En integramos primero con respecto a x (considerando a y constante) y luego con respecto a y; en integramos utilizando un orden inverso.

Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas.

Esta situación es más complicada que la que hemos visto.

Consideremos una región F donde la frontera está formada por las rectas x = a, x = b, y = p(x), y = q (x) con p(x) < q(x) para a  x  b. Definimos donde primero integramos (para x fijo) desde la curva inferior hasta la superior, es decir a lo largo de un segmento típico. Luego integramos con respecto a x desde a hasta b. Con mayor generalidad se puede definir las integrales iteradas sobre una región F, integrando primero respecto de y tenemos integrando respecto de x será

5.2.- DEFINICIÓN DE INTEGRAL DOBLE. ÁREAS Y VOLÚMENES.

Se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x, y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x, y); esto es, F(x, y)= 1, o F(x, y)= y, Cuando se trate de calcular el área, o el momento del área respecto al eje x.

La notación "A" F(x, y)dA

Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x, y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares, A=xy=yx algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquella que se haya parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden A1, A2…….An sea (xk, yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación "A" F(x, y) dA

La integral doble "A" F(x, y) dA se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en z= F(x, y)

El término F(xk, yk) Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación A=xy=yx nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite A1, A2…….An proporciona un volumen exacto.

La utilidad de este concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, A1, A2…….An para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo u otra de las siguientes integrales iteradas:

"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx

Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble "A" F(x, y)dA, con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.

Ahora se explica el significado de la notación: "A" F(x,y) dy dx

El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x); para integrar el resultado de

a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.

Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

Considerando x como constante se hace la integración respecto a y.

Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.

dV = A(x)dx,

Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral

donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación coincide con

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

5.3.- INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES.

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:

Si la función es

aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a ϕ y a ρ.

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es

Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a θ.

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

...