INVESTIGACION DE OPERACIONES

2.1 FORMULACION Y APLICACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL.

Los modelos de programación lineal son muy variados y sus modelos adoptan muchas formas. Esta diversidad puede confundir y hace difícil reconocer cuándo puede aplicarse la programación lineal para estudiar problemas administrativos.

La capacidad para reconocer la aplicabilidad de la programación lineal es una aptitud administrativa y desarrollar esta aptitud es el objetivo de la presente unidad.

La formulación y análisis de un modelo de programación lineal proporciona información para ayudar a los gerentes a tomar decisiones. Esto significa que el modelo refleja con precisión la perspectiva administrativa del problema. La programación lineal es una técnica determinista de análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas. Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, de centeno u otro), costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios en dos categorías; restricciones y el objetivo.

Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan, puede quererse un paquete de pan blanco rebanado y hecho no antes del día anterior. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y escoger el más barato.

Existen muchos problemas en la empresa que se ajustan a este molde de tratar de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones. Un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción, los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La programación lineal se ha aplicado con éxito a estos y otros problemas. El objetivo y cada una de las restricciones en la (PL) se deben expresar como una relación lineal, de ahí el nombre de programación lineal.

Para las aplicaciones más reales es necesaria una computadora para resolver el modelo. A pesar de sus limitaciones, la programación lineal, (PL) es una de las técnicas más poderosas y útil para la solución de los problemas en las organizaciones.

Ya sea simple o complejo, un modelo es una representación que idealiza, simplifica y abstrae selectivamente la realidad, y esta representación es construida por individuos, por lo que la creación de modelos incluye una gran cantidad de arte e imaginación así como de conocimientos técnicos. A manera de guía, podemos dividir el proceso de construcción de un modelo cuantitativo en tres etapas:

1. Se estudia el ambiente. La experiencia puede ser el ingrediente más esencial del éxito, la experiencia tanto en construcción de modelos como en el trabajo en el ambiente que se estudia.

2. Se formula una representación selectiva de la realidad. Implica un análisis conceptual básico en el que se deben hacer conjeturas y simplificaciones. El proceso de formulación requiere que el constructor del problema seleccione o aísle del ambiente aquellos aspectos de la realidad que sean relevantes dentro del ámbito del problema. Puesto que los problemas que nos interesan implican decisiones, restricciones y objetivos, deben ser explícitamente identificados y definidos. Una vez que se ha realizado la formulación lógica se debe elaborar una forma simbólica del modelo. En cierto sentido, formulación y construcción son procesos integrados, siendo la formulación el aspecto lógico conceptual y la construcción la expresión de las relaciones lógicas en el lenguaje simbólico de las matemáticas.

3. Se formula una representación simbólica (es decir con expresiones matemáticas) del modelo. Las interacciones entre la formulación y la construcción simbólica por lo común son críticas. Por lo que se requiere que los modelos sean construidos por grupos heterogéneos o interdisciplinarios de expertos en varios campos.

El concepto de formulación y construcción del modelo podría ser más explícita con el siguiente ejemplo:

Considérese a un fabricante quien produce distintos productos y utiliza diferentes materias primas en el proceso. El desea conocer que tanto tiene que producir de cada producto con el objeto de obtener el mayor beneficio global, numeremos los diferentes productos que fabrica por 1,2,…,n y las materias requeridas (tales como mano de obra, capital, acero y otras materias básicas) por 1,2,….,m supóngase que el sistema de unidades se elige en términos de la cantidad de cada producto fabricado y en forma como puede medirse las materias usadas, por ejemplo, la cantidad de acero usado puede medirse en toneladas, la mano de obra en horas-hombre, y así sucesivamente. Ahora hagamos algunas suposiciones respecto a la naturaleza del proceso de fabricación considérese primero que, para cada producto, se requiere una cantidad fija de cada materia hacer una unidad de ese producto. Sea así el número de unidades requeridas de la materia i para producir una cantidad del producto j (1 # i # m, 1 # j # n). Al referirse a ahí como "fijo" significa que el número determinado por i y j solamente y no varía con la cantidad producida del producto j. A continuación, supóngase que consideramos un período de tiempo fijo durante el cual se dispone de una cantidad fija de cada materia y que dicha cantidad no puede excederse durante ese tiempo. Sea va el número de unidades de la materia número i disponible durante el período de tiempo fijo (1 # i # m). Finalmente supóngase que todos los productos fabricados durante el intervalo de tiempo considerado se venderán y que se conoce el beneficio unitario de cada producto, el cual es independiente del número de unidades producidas. Sea Cj el número de unidades de dinero que son el beneficio de la venta de una unidad de cada producto j (1 # j # n). Entonces, si se producen xj unidades del producto j (1 # j # n) en el intervalo de tiempo dado, el beneficio será C1X1 + C2X2 +………Cixj+…..+ Cnxn, puesto que deseamos maximizar el beneficio total sujeto a las condiciones mencionadas, debemos formular el siguiente problema de programación lineal.

Max. Z= C1x1 + C2x2 +………Cixj+…..+ Cnxn

S.A.

a11x1 + a12x2 +……… a1jxj +…..+ a1nxn (#, = ó $) b1

a21X1 + a22X2 +……… a2jXj +…..+ a2nXn (#, = ó $) b2

……………………………………………………………………..

ai1x1 + ai2x2 +……… aijxj +…..+ ainxn (#, = ó $) bi

……………………………………………………………………..

am1X1 + am2X2 +……… amjXj +…..+ amnXn (#, = ó $) bm

xj $0 (j =1,2,….,n)

Las condiciones xj$0 (j =1,2,…., n) están presentes debido a que no tiene significado hablar de producir una cantidad negativa de un producto.

Los modelos típicos de programación lineal se pueden clasificar en cuatro categorías:

1. Modelos de asignación de recursos.

2. Modelos de trueque de costo-beneficio.

3. Modelos de redes de distribución.

4. Modelos mixtos.

En cada caso, un rasgo distintivo importante es la naturaleza de las restricciones, como se verá en cada modelo.

2.2 METODO GRAFICO

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

i. Se despeja la

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