Importancia de los conceptos primitivos y los axiomas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas

Carrera de Física

Análisis Matemático 2

Ensayo explicando los conceptos y las definiciones básicas, así como los hechos más relevantes de la geometría del espacio desde el punto de vista vectorial

Carrasco Alcalde Junior Bill

Importancia de los conceptos primitivos y los axiomas

Podemos dar la siguiente definición los conceptos fundamentales o primitivos son los más elementales dentro de un área de conocimiento; siendo así, no existen conceptos más básicos a partir de los cuales deducirlos. Es decir, se asumen como verdaderos intuitivamente, sin demostración. Sin embargo, pueden usarse para deducir todos los conceptos de nivel superior dentro del área de conocimiento a la que pertenecen; por lo tanto, pueden aceptarse como axiomas.

En un mundo ideal tendríamos axiomas para todas nuestras prácticas colectivas. Comúnmente se piensa que los axiomas son verdades evidentes que no necesitan ser demostradas y que son tomados por todos los individuos como tales, como verdades evidentes, sin realizar mayores preguntas. Esto en parte es cierto en parte no. En realidad, los axiomas sólo son principios formales que permiten ordenar los pensamientos de varias personas. Funcionan como modelos conforme a los cuales adecuamos nuestros procesos de razonamiento. Su utilidad radica en servir de guías para imitar, validar e invalidar pensamientos de acuerdo con ellos. No es cierto que no se demuestren porque se consideran verdades evidentes por sí mismas, sino que, no se muestra, pero por la función que cumplen para un sistema formal y para el pensamiento en general. La función que cumple es la de ser principios guía y dado que la verdad no es una condición necesaria para que algo sea un principio guía, los axiomas entonces para ser axiomas no necesariamente deben ser verdaderos. Lo que sí deben ser los axiomas para que puedan guiar el pensamiento de muchas personas es: deben ser simples, generales y consistentes; esto último sobre todo si se toman varios axiomas como elementos de un mismo conjunto. En conclusión, no importa tanto que un axioma sea verdadero o falso, mientras sea general.

Concepto y definición

El concepto es la palabra que designa a un objeto y también es el objeto mismo, ejemplo si digo puerta, la palabra puerta es el concepto y también es el objeto ya que nos imaginamos una puerta cuando lo decimos.

Definir es cualquier medio que nos aclare un concepto, este medio debe conducirnos a delimitar el concepto o darle una estructura de tal forma que se llegue a definir con conceptos primitivos. se trata de aclarar, de una manera muy concreta el concepto, de tal forma se hace una cadena de definiciones de conceptos que se requerían para definir qué es, hasta llegar a hablar de conceptos primitivos.

LA GEOMETRÍA VECTORIAL

Esta es una rama de las matemáticas que se centra en ver a la geometría del espacio desde el punto de vista vectorial, con ella podemos hacer tanta o más geometría de la que usualmente se habla, pero qué es un vector. En matemáticas y física un vector es un ente matemático, un elemento de un espacio vectorial, pero qué es un espacio vectorial, un espacio vectorial es una terna (𝑉, +, ∙), donde V conjunto no vacío y +, ∙ son operaciones del tipo +: 𝑉𝑥𝑉 → ℝ, ∙ ∶ ℝ𝑥𝑉 → 𝑉 a las que llamaremos sumas de vectores y productos por escalares respectivamente. Entonces:

𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙[pic 1]

Por cuestiones de abuso de notación podemos denotar a esa terna como 𝑅2, pero siempre que se piense en un espacio vectorial se debe ver a la terna junta.

[pic 2]

Un vector lo podemos denotar con sus componentes rectangulares, es decir         ℝ2: 𝑎⃗ = (𝑎1, 𝑎2). La flechita, como comúnmente denotamos a un vector, es una interpretación, de esta interpretación surgen tales leyes como la ley del paralelogramo, triangulo o polígono. Lo mismo ocurre para ℝ3.

La norma es una función que va de un espacio vectorial hacia los números reales que, ahora podemos definir la norma de un vector, la cual siempre es mayor o igual que cero. La norma de un vector, conocida como modulo o longitud, cumple las siguientes cuatro propiedades.

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