Investigacion Matematicas Discretas

[pic 1]

UNIVERSIDAD TECNOLOGICO DE CUAUTLA

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

Materia: Matemáticas discretas

Nombre del docente: Manzanares Alcazar Iris Berenice

Nombre de la alumna: Carrillo Galvan Sandra Paola

Turno: vespertino

Grupo: 2

Trabajo: Investigación de los temas

2.4 Conceptos básicos: producto cartesiano y relación binaria

2.5 Representación de las relaciones

2.6 Propiedades de las relaciones

Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

[pic 2]

Expresión extensiva de un producto cartesiano

Sean los conjuntos A y B.

Esté A definido como A={a, b, c}

Esté B definido como B={m, n, o}

El producto cartesiano AxB estará definido como:

AxB={(a, m), (a, n), (a, o), (b, m), (b, n), (b, o), (c, m), (c, n), (c, o)}

El producto cartesiano BxA estará definido como:

BxA={(m, a), (m, b), (m, c), (n, a), (n, b), (n, c), (o, a), (o, b), (o, c)}

Expresión gráfica de un producto cartesiano

Las parejas ordenadas representarán puntos coordenados en el plano, tomando como primera coordenada un elemento del primer conjunto, y como segunda coordenada a un elemento del segundo conjunto, independientemente que sean números u otras entidades.

En la siguiente gráfica se ilustra el desarrollo gráfico del producto cartesiano AxB:

[pic 3]

Se puede comparar con el desarrollo gráfico del producto cartesiano BxA[pic 4]

Relación binaria

Las  relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes en las matemáticas y en sus aplicaciones, es por esto que desde el punto de vista matemático estas relaciones se describan como subconjuntos de un cierto producto cartesiano, por lo tanto una relación es una comparación entre dos elementos de un conjunto, se expresa usando pares ordenados, se define por R  como conjunto de pares ordenados, considerando que el primer elemento del par ordenado esté relacionado con el segundo, un par ordenado es una colección de dos elementos en el que el primero es ordenado y el segundo no.

 Una relación binaria R de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano ejemplo: R C (A x B)  donde A= B y R  es una relación del conjunto A en el conjunto B, si  fuera el par ordenado se escribe (a, b) R se escribe a R b y representa la relación con b. En  la relación R se pueden identificar dos conjuntos especiales, que reciben el nombre de dominio y condominio. El dominio se expresa si R C (A x B) es una relación de A en B, el dominio de R, se escribe Dom®, expresando el conjunto de los elementos del conjunto A relacionados con los elementos del conjunto B y se expresa como: Dom®=(a c A t .q.(a,b) c R para algún b c B }. Condominio si R c (A x B) es una relación de un conjunto A en un conjunto B, el condominio también llamado (rango, imagen o recorrido) de R se escribe Cod®  y es el conjunto de los elementos de B que están relacionados con los elementos del conjunto A es decir: Cod®= (b c Bt.q.(a,b) c R para algún a c A). Para poder determinar el condominio  de R se escriben los segundos elementos pares ordenados sin repetirlos. Existen formas de representar las relaciones las más comunes además de los pares ordenados son las siguientes:

Tablas: se utiliza para la representación tabular, utiliza dos variantes, la primera los elementos del primer conjunto corresponden a las filas o los renglones de la tabla y las columnas de la tabla a los elementos del segundo conjunto, en la segunda las columnas corresponden a los conjuntos y se expresan los elementos relacionados

Diagramas: similar a los diagramas de venn los elementos relacionados se unen con flechas

Matriz de relación: en ella los elementos del primer conjunto corresponden a las filas o los renglones de la matriz, mientras que las columnas pertenecen a los elementos del segundo conjunto.

Cartesiana: hace uso del plano en un sistema de ejes de coordenadas cartesianas se utiliza en los elementos del conjunto A como del conjunto B se pueden representar en un plano con un sistema de coordenadas cartesianas y se utiliza cuando R es una relación sobre A

Diágrafos: es la representación gráfica de los elementos de un conjunto y las relaciones que existen entre estos se utiliza cuando R es una relación sobre A.

Propiedades de las relaciones

Las propiedades se utilizan para clasificar las relaciones sobre un conjunto determinado. Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. 

Lo que hace destacar las propiedades es que se utilizan, entre otras cosas, para clasificar las relaciones sobre un conjunto determinado.

Algunos de los  ejemplos de las principales propiedades de las relaciones son:

Sean el conjunto A 􀀠􀀃{1, 2, 3, 4} y las siguientes relaciones sobre A:

R 􀀠􀀃 {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}

S 􀀠􀀃 {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

T 􀀠􀀃 {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}

U 􀀠􀀃 {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

V 􀀠􀀃 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(3, 3), (3, 4), (4, 4)}

...