Matematicas Discretas

1.- Forma canónica:

Se define como término canónico de una función lógica a todo producto o suma en el que aparecen todas las variables en su forma directa a o complementada a:

− 1ª forma canónica minterm ⇒ suma de productos canónicos.

− 2ª forma canónica maxterm ⇒ producto de sumas canónicas

Minitérminos:

Se toman las salidas que son “1” y se expresa como suma de términos producto en los que las variables que son “1” se expresan como literales y las que son “0” como invertidas.

F (a b c)=āb’c+ābc’+ab’c+abc’+abc ⇒ F (abc)= m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7= ∑m (1, 2,5,6,7)

Por ejemplo, y son ejemplos de mintérminos para una función booleana con las tres variables , y .

Función equivalente:

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica: f(a,b), es posible escribir la función como "suma de productos". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas con resultado '1 son la primera y la cuarta, entonces podremos escribir f como la suma de los minitérminos: .

Si queremos verificar esto:

Tendremos que la tabla de verdad de la función, calculándola directamente, será la misma. Esta expresión aplicada a interruptores sería el de la figura, se puede ver que hay dos ramas, en la superior dos interruptores inversos: a’ y b’ puestos en serie, lo que es equivalente a a’b’, en la inferiores directos: a y b también en serie que es equivalente a ab, estos dos circuitos puestos en paralelo resultan a’b’ + ab.

Maxitérminos:

Es la multiplicación de dos o más términos suma.

Un maxitérmino es una expresión lógica de numeros variables que consiste únicamente en la disyunción lógica y el operador complemento o negación.

Los maxterminos de una expresión dual de los minitérminos. En vez de usar operaciones AND utilizamos operaciones OR y procedemos de forma similar.

_ _

(A+ B)(A + B + C)

_ _ _ _

A (A + B + C)(B + C + D)

Una barra no puede extenderse sobre más de una variable:

_ _ _ ______

Válido: A+B+C No válido: A+B+C

Por ejemplo, los siguientes términos canónicos son maxitérminos:

Dualización:

El complemento de un minterm es su respectivo maxitérmino. Esto puede ser fácilmente verificado usando la Ley de De Morgan. Por ejemplo:

Función equivalente:

Si tenemos una tabla de verdad de una función lógica, f(a,b), es posible escribir la función como "producto de sumas". Por ejemplo, dada la tabla de verdad.

Observamos que las filas que tiene como salida un 0 son la segunda y la tercera, entonces podemos escribir f como un producto de maxitérminos .

Si queremos verificar esto:

La aplicación en un circuito de interruptores, es el del esquema, donde se puede ver los dos interruptores superiores a y a', y los inferiores b' y b.

En primer lugar tenemos puestos en paralelo a y b', lo que seriaa+b', y a continuación, a' y b en paralelo que seriaa'+b, estos dos circuitos parciales puestos en serie son equivalentes a (a+b')(a'+b), las distintas combinaciones de a y b, corresponden, como se puede ver a la tabla de verdad.

Este circuito está cerrado solo en dos de las cuatro combinaciones posibles: a b con los interruptores en esta posición se conecta la entrada con la salida y a’ b’ que también cierra circuito, para las otras combinaciones el circuito está abierto.

Este circuito y el anterior son claramente diferentes, pero los dos corresponden a la misma tabla de verdad y por lo tanto equivalentes.

Aun partiendo de la misma expresión booleana, se pueden realizar distintas configuraciones equivalentes, así se puede ver en esta segunda figura.

Se puede demostrar la equivalencia, simplificando la función, partiendo de:

Realizando las multiplicaciones, tendremos:

Simplificando:

3.- Minimización de expresiones booleanas, mediante el mapa de karnaugh

El método de Karnaugh proporciona una forma sistemática para simplificar funciones booleanas.

La clave para realizar este proceso consiste en

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