Juan Yepez

Actividades

1. Realizar un informe sobre los Números Reales y el Plano Cartesiano.

2. Realizar un esquema sobre Funciones: Definición, dominio y rango.

- Función Inyectiva.

- Función Sobreyectiva.

- Función Biyectiva.

3. Realizar una prueba de ensayo sobre Razones trigonométricas.

- Definición y Clasificación de los ángulos.

- Definición y Clasificación de los triángulos.

- Razones del seno, coseno y tangente.

1.a.- LOS NUMEROS REALES

Los Números Reales (usualmente son designados con la letra “R”) son el conjunto conformado por la unión de los Números Racionales (“Q”) y los Números Irracionales (“I”).

Los Números Racionales son el conjunto conformado por los Números Enteros (“Z”), y los fraccionarios (aquellos que pueden expresarse bajo la forma de n/m, donde n y m son números enteros y m es diferente de 0). Los Números Enteros son la unión de los Naturales, los Enteros Negativos y el 0 (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,….).

Los Números Irracionales son aquellos que no pueden ser expresados bajo la forma n/m, no tienen una extensión finita de decimales ni una secuencia repetida de los mismos (como por ejemplo 2π, √2).

Conjunto de los números Reales

Propiedades y operaciones con los Números Reales

Inverso Aditivo

Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro.

Por ejemplo: 5 es el inverso aditivo de -5, y -5 es el inverso aditivo de 5

El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo.

La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).

Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a.

Propiedad del doble negativo

Consideremos el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo.

Para cualquier número real a, -(-a) = a

Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9

Valor absoluto

El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un número positivo, y el valor absoluto de 0 es 0.

Para determinar el valor absoluto de un número real, usaremos la definición siguiente.

La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto) del número.

El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo.

Operaciones con los números Reales

Suma de números reales

Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma.

La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.

Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo), reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande.

La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.

Resta de números reales

Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente.

a – b = a + (-b)

Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a

Multiplicar números reales

Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.

Propiedad del cero en la multiplicación

Para cualquier numero a,

Dividir números reales

Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva.

Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.

Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.

Propiedades de los números reales.

1.b.- PLANO CARTESIANO

El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas numeradas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplos:

Localizar el punto A ( -4, 5 ) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.

Determinar las coordenadas del punto M.

Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

2.- FUNCIONES

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda.

De forma más abstracta, el concepto general de función, se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto.

Otra definición es: Siempre que una cantidad variable depende de otra se dice que es función de esta última.

La definición moderna de función debida a Dirichlet: Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponde un valor único de la variable y.

Un buen ejemplo para ilustrar a una función, sería el área de un círculo, ya que, el área depende de la medida del radio.

El valor del área de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio, A = π•r2

Entonces, se dice que el área a de un círculo es función de su radio.

A la primera magnitud (el área) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio) es la variable independiente.

DOMINIO

El dominio de una función son los valores para los cuales la función está definida o en otras palabras, es el conjunto de todos los posibles valores que la función acepta.

Por ejemplo:

Si la función f(x) = x al cuadrado, se le dan los valores x = {1,2,3....} entonces {1,2,3....} es el dominio.

RANGO

El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida de una función o es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función.

Ejemplo: si a la función f(x) = x2 se le dan los valores x = {1,2,3,...} entonces el rango será {1,4,9,...}

2.a.- Función Inyectiva

Una función f de dominio D = Dom(f) es inyectiva cuando a elementos distintos de D le corresponden imágenes distintas:

Si x1, x2 ∈ D : x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)

Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen.

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplos:

a) Veamos si la función f(x) = 4x -

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