Lógica De Predicados

Logica de predicados

Cuantificadores

Una cuantificación universal es una proposición de la forma:

Para todo X, P,

donde la componente P es una proposición cualquiera.

Análogamente, una cuantificación existencial es una proposición de la forma:

Existe X tal que P, donde la componente P es una proposición cualquiera.

La componente de una cuantificación es el cuantificando, y la frase que precede al cuantificando es el cuantificador.

Ejemplo.

Todos los arboles son plantas

Algunos árboles dan frutas

Para todo x, si x es árbol entonces x es mortal

(∀x)(Ax –> Mx)

Existe un x, tal que x es arbol y x es fruta

(∃x)(Ax ^ Fx)

Ejemplo:

Sea A ={1, 2, 3, 4, 5}.Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados

Siguientes:

a) (∃x∈ A)(x+3 =10)

Es falso porque ningún número de A es una solución de x + 3 = 10

b) (∀x∈ A)(x+3< 10)

Es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x + 3< 10

Representación y evaluación de predicados

23OCT

En el Cálculo de Predicados se usan varios tipos de símbolos:

o SÍMBOLOS DE FUNCIÓN: Funciones que definen nuevos individuos en términos de los previamente conocidos

Ejemplos:

Mas (x, y)

padre (x)

o SÍMBOLOS DE PREDICADOS: Predicados que describen un conjunto de individuos que tienen una propiedad o relación

Ejemplos:

MAYOR (más(x, 1), x)

o CONSTANTES. Mantienen la propiedad de todo elemento constante.

Ejemplos:

CASA, MARÍA

o SÍMBOLOS DE VARIABLES. Individuos que pertenecen a un dominio no vacío o conjunto

Ejemplos:

x, y

En Cálculo de Predicados, nos referimos a términos cuando hablamos de constantes, variables o símbolos de función, cuyos elementos sabemos de antemano que son términos. Así, por ejemplo, la variable x y la constante 1 son términos. Dado el símbolo de función más de dos argumentos, las siguientes expresiones también son términos:

Más (x, 1)

más (más(x, 1 ,1)

El primero de ellos se refiere a la suma x +1, mientras que el segundo a la suma de los términos correspondientes a x+1 con el término 1.

Como para el caso del Cálculo de Proposiciones, se usan también átomos en el Cálculo de Predicados, los cuales son enunciados simples (es decir predicados), que están conformados con símbolos de predicados, con varios términos como argumentos y que pueden ser evaluados como V (verdaderos) o F (falsos), de manera que no pueden ser descompuestos en proposiciones más simples. De esta manera las siguientes expresiones son átomos:

MAMÍFERO(x)

MORTAL (LASSIE)

ES_TIO (JUAN, JOSE)

ES_NIETO (PANCHO_VILLA, PEDRO_CASISTRANINI)

Es decir, se puede definir término de la siguiente manera:

Además se trata con formas proposicionales, estructuras que aparecen como sentencias declarativas, pero que no tienen valores definidos de verdad a causa de las variables individuales.

Ejemplo:

o 2+3=4 Es una proposición

o X+3=4 Es una forma proposicional, ya que será proposición cuando x tome algún valor del dominio

Recibe el nombre de Cálculo de Predicados de Primer Orden por tener cuantificadores sólo sobre el dominio de individuos.

NOTA:

El cálculo de predicado está formado por un conjunto de predicados concatenados a través de operaciones lógicas.

Igualmente dentro del cálculo de Predicados se utilizan las siguientes simbologías:

Е Existe: Para todo A

Ejemplo:

Sea el enunciado:

Todos los mamíferos son de sangre caliente.

Expresado usando la simbología del predicado

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