Semántica de la logica del predicado gamut

LA SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE PREDICADOS DE PRIMER ORDEN

GAMUT 3.5 - 3.6.2 , 3.6.4, 4.1 - 4.2

En esta clase vamos a ver la semántica de L (el lenguaje de la lógica de predicados de primer orden). Lo haremos en dos pasos:

1. Vamos a definir formalmente en qué consiste dar significado a las expresiones de L, esto es, interpretar cada una de las variables lógicas de L (a1, a2, a3,…, A1, A2, A3).
2. Definiremos, mediante cláusulas análogas a las ofrecidas para la semántica de la lógica proposicional, cuándo, bajo una interpretación dada, una fórmula cerrada (oración) de L es verdadera y cuándo no. Al igual que en lógica proposicional, el significado de una fórmula será su valor de verdad. Por ende, una vez que hayamos dado significado a las partes componentes de las oraciones de L (a1, a2, a3,…, A1, A2, A3), el conjunto de cláusulas a especificar aquí nos dirá cómo el significado de las últimas depende del de las primeras, cómo las condiciones de verdad de una fórmula dependen del significado de sus partes componentes.

Conjuntos

Para realizar estos dos pasos nos valdremos de objetos matemáticos llamados “conjuntos”. Un conjunto es un objeto que reúne en sí otros objetos, sus “elementos” (como caso límite tenemos al “conjunto vacío”, que simbolizamos mediante la letra φ, y que es el único conjunto que no tiene elementos). Decimos que los elementos de un conjunto le “pertenecen”. Vamos a utilizar las letras mayúsculas A, B, C,… para nombrar conjuntos. Si a es un elemento de A entonces escribimos a ∈A. Si no lo es, escribimos a ∉A.

Lo único que necesitamos saber para conocer un conjunto es qué objetos le pertenecen. Por ello decimos que los conjuntos son entidades extensionales: mismos elementos, mismo conjunto;^[1] a diferencia de las propiedades, entidades intensionales: por ejemplo, la propiedad de ser un unicornio y la propiedad de ser un cíclope se aplica a los mismos individuos (a ninguno) y, sin embargo, no son la misma propiedad. En cambio, el conjunto de los unicornios y el de los cíclopes sí es el mismo, el conjunto vacío. Puesto que los conjuntos están completamente determinados por sus elementos, podemos definir un conjunto A especificando exactamente cuáles son sus elementos. Esto puede hacerse de dos maneras:

• Por extensión, listando los elementos del conjunto: A = {2,4,6}.
• Por comprensión, mencionando una propiedad que instancian exactamente los elementos del conjunto: A = {x| x es un número natural par y x es menor que 7} (léase “A es el conjunto de todos los objetos x tales que x es un número natural par menor que 7). En general, si P es una propiedad, la expresión ‘{x|Px}’ significa ‘el conjunto de todos los objetos x tales que x instancia la propiedad P’ o, más brevemente, ‘el conjunto de todos los objetos x que son P’. La tesis central vinculada con las definiciones por compresión es la siguiente: para todo objeto a, a ∈{x|Px} si y sólo si a es P.

Luego, de acuerdo con el principio de extensionalidad: {1, 2, 8}={2, 1, 8, 8}, {¬(A1x2), ¬¬(A1x2)} = {¬¬(A1x2), ¬(A1x2)}, etc.. Notemos que no todo conjunto que admite una definición por comprensión admite una por extensión. Por ejemplo, los conjuntos infinitos pueden definirse mediante una propiedad que cumplan sólo sus elementos, pero éstos no pueden ser listados.

Notemos también que 2 ≠ {2}, ¬(A1x2) ≠ {¬(A1x2)}, etc., pues los primeros son un número y una fórmula, respectivamente, y los segundos son conjuntos. Si ambos en cada caso fueran conjuntos, para poder ser iguales aún deberían tener los mismos elementos.

Si todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B, decimos que A está incluido en B, o que A es un subconjunto de B, y lo expresamos “A ⊆ B”. Por ejemplo, si A = {1, 2, 8} y B ={2, 1, 7, 8}. Como el conjunto vacío carece de elementos, podemos decir que todos sus elementos pertenecen también a cualquier otro conjunto, i.e. el conjunto vacío está incluido en todo conjunto: φ ⊆ C, donde C puede ser reemplazado por cualquier conjunto.

Operaciones entre conjuntos: si A y B son subconjuntos de un conjunto D,

• Intersección: A ∩ B = {x| x ∈A y x ∈B}
• Unión: A ∪ B = {x| x ∈A o x ∈B}
• Complemento: Ac = {x| x ∈D y x ∉A}
• Potencia: ℘(A) = {x| x ⊆ A}
• Producto Cartesiano: A × B = {〈x, y〉| x ∈A y y ∈B}

〈x, y〉 debe entenderse como un objeto que contiene a su vez dos objetos en sí, primero x, que pertenece a el primer conjunto del producto, y luego y, que pertenece al segundo. A este tipo de entidades las denominamos “pares ordenados” y, a diferencia de los conjuntos, el orden y las repeticiones son importantes para su identificación. Por ejemplo, sean D = {a, b, c, d, e, f}, A = {a, b, c} y B = {c, d}. Luego, A × B = {〈a, c〉, 〈a, d〉, 〈b, c〉, 〈b, d〉, 〈c, c〉, 〈c, d〉}. Vemos entonces que 〈a, c〉 ∈ A × B mientras que 〈c, a〉 ∉ A × B, porque sólo pertenecerán a A × B aquellos pares ordenados cuyo primer elemento esté en A y su segundo elemento esté en B. Luego, 〈a, c〉 ≠ 〈c, a〉, mientras que en el caso de los conjuntos: {a, c} = {c, a} (vendría a ser como la diferencia entre tener un conjunto de letras y tener palabras).

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