Maestría De Ceremonia

MATEMATICAS III

BLOQUE I

Secuencia 1: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

En esta secuencia descubrirás procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.

SESION 1:

La expresión que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.

El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.

El primer termino del binomio se eleva al cuadrado

El segundo término del binomio se eleva al cuadrado

Se multiplican ambos términos (3x) (5) = 15x

Se duplica el producto (2) (15x) = 30x

(3x + 5)2 = 9x2 + 30x + 25

SESION 2:

Al elevar al cuadrado una diferencia también se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, pero ahora el doble del producto de los términos del binomio tiene signo menos.

El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.

X se eleva al cuadrado

B se eleva al cuadrado

(x – b)2 = x2 – 2bx + b2

El producto de (x) y (-b) se duplica

SESION 3:

Binomios conjugados

Diferencia de cuadrados

El producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados.

(x + y)(x – y) = x2 – y2

La factorización de una diferencia de cuadrados son dos binomios conjugados

SESION 4:

Para obtener el producto de dos binomios con término común se pude hacer lo siguiente:

(X+4) (X+3) = x2 +7x + 12

1°, el término común X se eleva al cuadrado.

2°, se suman los términos no comunes: 3+3=7; el resultado 7 se multiplica por X.

3°, se multiplican los términos no comunes: (4) (3) = 12

SESION 4:

Para factorizar el trinomio x2 + 5x +4, se puede hacer lo siguiente: 1° se obtiene el termino común; en este caso es x, porque (x) (x) = x2

X2 + 5x + 4 = (x + -------) (x + ------)

2° se buscan parejas de números enteros que multiplicados den 4.

(2) (2) = 4 (-2) (-2) =4 (4) (1) = 4 (-4) (-1) = 4

3° se selecciona la pareja de números que sumada de el coeficiente del término 5x; en este caso, se seleccionan 4 y 1 porque 4+1 = 5

Por lo tanto:

X2 + 5x + 4 = (x+4) (x+1)

SESION 5:

Para factorizar un binomio tal como 4x2+20x se puede hacer lo siguiente:

1° se factoriza cada termino del binomio

de manera que el factor común contenga 4x2 = (4x) (x)

la literal y el máximo valor posible 20x = (4x) (5)

del coeficiente:

2° se expresa la factorización: 4x2+20x= (4x) (x+5)

Secuencia2: TRIANGULOS CONGRUENTES Y CUADRILATEROS

En esta secuencia aplicaras criterios de congruencia para la justificación de propiedades sobre los cuadriláteros

SESION 1: Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, pues si se traza una de sus diagonales, se obtienen dos triángulos congruentes

SESION 2:

Si un cuadrilátero satisface que sus diagonales se intersecan en su punto medio, entonces este cuadrilátero debe ser un paralelogramo.

Para justificar esta propiedad de manera formal se pueden emplear los criterios de congruencia.

Secuencia 3: ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

En esta secuencia identificaras las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y entre circunferencias. Conocerás algunas propiedades de las rectas secante y tangente de una circunferencia.

SESION 1:

En el plano, una recta puede intersecar a una circunferencia en un punto, intersecarla en dos puntos o no intersecarla.

Las rectas que intersecan a la circunferencia en un solo punto se llaman rectes tangentes a la circunferencia. Al punto en el que la tangente interseca a la circunferencia se llama punto de tangencia. La distancia que hay del centro a la recta tangente es igual al radio

Las rectas que intersecan en dos puntos a la circunferencia se llaman rectas secantes. La distancia del recto de la circunferencia a la recta secante es menor que el radio.

Las rectas que no intersecan a la circunferencia se llaman rectas exteriores. La distancia del centro de la circunferencia a la recta exterior es mayor que el radio.

SESION 2:

Sea T un punto sobre una circunferencia de centro O. la recta perpendicular al radio OT por el punto T es la recta tangente a la circunferencia por el punto T.

.

SESION 3:

Dos circunferencias pueden ser:

Ajenas, cuando no tienen dos puntos en común. Estas circunferencias pueden ser externas o internas. Un caso particular de estas son las circunferencias concéntricas cuya característica es que tienen el mismo centro.

Tangentes, cuando tienen solo un punto en común. Estas circunferencias pueden ser externas o internas.

Secantes, cuando tienen dos puntos en común.

Secuencia 4: ANGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

En esta secuencia determinaras la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

SESION 2:

A partir de los ejemplos trabajados, se puede suponer que un ángulo inscrito y uno central cumplen con la siguiente relación:

Cuando el ángulo inscrito y el ángulo central subtienden el mismo arco, la medida del primero es la mitad de la medida del segundo.

SESION 3:

Cualquier pareja de ángulos inscrito y central cae en algunos de los casos examinados, así que la justificación que se mostro en esta sesión garantiza que la relación “la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que subtiende el mismo arco” se cumple siempre que los ángulos inscrito y central subtiendan el mismo arco.

Secuencia 6: LA RAZON DE CAMBIO

En esta secuencia estudiaras las razones de cambio de dos conjuntos de cantidades que están en una relación de proporcionalidad directa.

SESION 1:

Cuando dos conjuntos de cantidades están relacionadas entre sí, se puede estudiar el cambio o incremento de una cantidad respecto al cambio o incremento de la otra.

En este caso, la distancia recorrida está relacionada de manera directamente proporcional a la cantidad de gasolina consumida. Los incrementos de estas cantidades se pueden comprar. Por ejemplo, para el automóvil B, un incremento de 60 km recorridos corresponden a un incremento de 12L de gasolina consumidos.

Incremento en el consumo de gasolina12 L

4 L.

20KM

Incremento en la distancia recorrida

60 KM

16L.

80KM

Al cociente que se obtiene al dividir el incremento de una cantidad entre el incremento correspondiente a la otra se le llama razón de cambio.

En el ejemplo, la razón de cambio entre la distancia recorrida (60km) y la cantidad de gasolina consumida (12L) es: 60/12=5, que resulta ser el rendimiento del automóvil B.

SESION 1:

Cuando la grafica asociada a la relación entre dos conjuntos de cantidades son puntos que están sobre una línea recta, la razón de cambio es constante.

En el problema anterior, la razón de cambio de la temperatura en cada hora es 150, sin importar el intervalo de tiempo en que se calculen los incrementos.

SESION 2:

Cuando la relación entre dos cantidades tenga por grafica una línea recta, la razón de cambio es igual a la pendiente de la recta.

Por ejemplo, si un automóvil E va a la velocidad constante de 40km/h y parte el kilometro 15 de la carretera, entonces la expresión algebraica asociada a la distancia que recorre el automóvil a partir del tiempo es y=40x+15; la pendiente de esta recta es 40 y la razón de cambio (distancia-tiempo) es también 40.

SESION 3:

La razón de cambio puede ser un número con signo positivo o negativo.

Secuencia 7: DISEÑO DE EXPERIMENTOS Y ESTUDIOS ESTADISTICOS

SESION 2:

En esta secuencia aprenderás que, para obtener la información confiable en un experimento o estudio estadístico, es conveniente reflexionar sobre los procedimientos y herramientas que se utilizaran para recopila, organizar y respetar los datos que se obtengan en cada etapa que conforma al experimento o estudio en cuestión.

La realización de un estudio considera diferentes fases:

Fase 1: definición del estudio o experimento. ¿Qué es lo que se quiere investigar y analizar? ¿Qué se espera encontrar?

Fase 2: obtención de datos. ¿Cómo s obtendrán los datos para analizar? ¿a quienes se les preguntara? ¿Qué tipo de pregunta es más conveniente hacer?

Una manera de obtener datos para realizar un estudio estadístico es por medio de la aplicación de una encuesta.

Fase 3: organización y análisis de los datos. ¿Qué tipos de datos se obtendrán? ¿Cómo es

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