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Ejercicios resueltos

EJERCICIOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1. Tasa de interés.

¿Cuál será la tasa de interés aplicada al prestar $1.000 hoy, para cancelar $1.200 al final de 1 año?

Definiendo la tasa de interés como "i" se tendría:

i = ( 1200 - 1000 ) / 1000

= 0.2 ó 20%

La respuesta se puede dar en forma porcentual o decimal como se prefiera. Se pagarán entonces $200 por intereses, y

el interés será el 20%. Cuando estamos evaluando un proyecto, al tomar la decisión, se debe tener

un punto de comparación (interés mínimo) a partir del cual, el interés de una alternativa será atractivo ó no.

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2. Interés Simple.

¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés simple anual durante dos años?

....|_______________________|_______________|

$1.000...........................$1.000 + $300 ................$1.000 + $300 + $300

Al final del primer año se tiene los $1.000 más los $300 por interés; y al final del segundo año se tendrá los $1.000

iniciales, $300 por interés del primer año y $300 por interés del segundo año ($1.600).

3. Interés Compuesto.

¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $1.000 al 30% de interés compuesto anual durante dos años?

....|_______________________|_______________|

$1.000...........................$1.000 + $300 .....................$1.300 + $390

Al final del primer año se tiene $1.300. Para el segundo año el cálculo será sobre los $1.300 que se poseen al comienzo

del periodo, y no solo sobre los $1.000 iniciales; por tanto los intereses causados en el segundo año son:

Primer año = $1.000 x 0.30 = $300

Segundo año = $1.300 x 0.30 = $390

Suma final = $1.300 + $390 = $1.690

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EJERCICIOS DINERO, TIEMPO Y RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Valor del Dinero a través del Tiempo

Ejemplo 1. Se dispone de 1'000.000 de pesos el cual se deposita en una entidad financiera que le pagará un interés

mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada cada mes. ¿Cuánto se tendrá al final de 1 año?

DATOS :

P=1'000.000

i= 2.5% mensual

n= 12 meses

F= ?

Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )^n

F=1'000.000 (1+0.025)^12

F = 1'344.888,82

Ejemplo 2. ¿Cuánto deberá depositarse hoy en una entidad financiera que paga un interés trimestral del 8.5%, para

tener $4'000.000 dentro de 2 años?

DATOS :

F= $4'000.000

i= 8.5% trimestral

n= 8 trimestres (2 años)

P=?

P = F * (1+i)^(-n)

P= 4'000.000 (1+0.085)^(-8)

P= 2'082.677,79

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Ejemplo 3. Una entidad financiera ofrece que, por cualquier monto que se le entregue, devolverá el doble al cabo de

30 meses. ¿Qué interés está pagando?

DATOS :

P = Cantidad inicial

F = 2P (Cantidad final)

n = 30 meses

i = ?

Utilizando la fórmula i = (F/P)^(1/n) - 1

2P = P (1+i)^30

2 = (1+i)^30

i= 0.023 (2.3% mensual)

Ejemplo 4. ¿Cada cuánto se duplica el dinero invertido al 2%?

DATOS :

P= Cantidad inicial

F= 2P (cantidad duplicada)

n=?

n = [ log(F/P) ] / ( log(1+i) )

2P = P * (1+0.02)^n

Log 2 = n*Log(1.02)

n = 35 periodos de tiempo

Ejemplo 5 Se invierte $2.000.000 al inicio del año 2006 a una tasa anual del 10%; ¿Cuánto se habrá acumulado al final

del año 2009?

DATOS:

P=2'000.000

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i2= 10% anual

n= 4 Años

F= ?

Aplicando la fórmula F = P * ( 1+i )n

F = 2'928.200

Ejemplo 6 Al inicio de su carrera universitaria su padre decidió regalarle un monto suficiente para que al finalizar

sus estudios (5 años) disponga de 5’000.000 para iniciar estudios de postgrado. Si el dinero es depositado en una

cuenta que paga un interés trimestral del 2%; ¿Cuánto será el valor del monto?

DATOS:

F= $5'000.000

i= 2% trimestral

n= 20 trimestres (5 años)

P=?

P = F * (1+i)^(-n)

P= 3'364.856,66

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.Ejemplo 7 Un banco promete a sus clientes entregar el doble del dinero depositado en un término de 6 años.

■ ¿Qué tasa de interés mensual está prometiendo el banco?

DATOS:

P=P

F= 2P

n= 72 Meses (6 Años)

i= ?

2P = P(1 + i ) 72

i = 0.009673533 = 0.9673533%

RESPUESTA: El banco está prometiendo un interés mensual del 0.9673533%

■ ¿Qué tasa de interés anual prometiendo el banco?

DATOS:

P=P

F= 2P

n= 6 Años

i= ?

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2P = P(1 + i )6

i = 0.122462048 = 12.2462048%

RESPUESTA: El banco está prometiendo un interés anual del 12.2462048%

■ ¿Cuánto tiempo toma en duplicarse una inversión al 1% mensual?

DATOS:

P=P

F= 2P

2i= 1% Mensual

n= ?

2P = P(1 +0.01 ) n

Log 2 = n Log (1.01)

n = 69.66 meses

RESPUESTA: Al cabo de 67 meses, la inversión se duplicará.

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.Ejemplo 8 Un banco promete una tasa efectiva anual del 8%. ¿Cuál será el valor final de una inversión de

$2’000.000 durante tres meses?

Para la solución de este problema existen varias alternativas de solución:

■

Primera alternativa:

ii= 8% Anual ( Se debe convertir este interés de periodo mayor (años) al interés de periodo menor (meses))

m= 12 Meses

i= ?

imensual = 0.00643403

Con este interés trabajamos el problema inicial:

DATOS:

P= 2’000.000

F= ?

imensual = 0.00643403

n= 3 meses

F = 2’000.000 [( 1.00643403 ) 3]

F = 2’038.853,094

■ Segunda alternativa:

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ii= 8% Anual ( Se debe convertir este interés de periodo mayor (años) al interés de periodo menor (trimestre))

m= 4 Trimestre

i=

i trimestral = 0.019426546

Con este interés trabajamos el problema inicial:

DATOS:

P= 2’000.000

F= ?

i trimestral = 0.019426546

n= 1 trimestre

F = 2’000.000 [(1.019426546) ^1]

F= 2’038.853,094

■

Tercera alternativa:

DATOS:

P= 2’000.000

F= ?

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i anual = 0.08

n= ¼ (años)

F = 2’000.000 [(1.08)1/4]

F= 2’038.853,094

Relación de Equivalencia entre una Serie Uniforme (A) y un valor Presente (P) situado un Periodo atrás del primer flujo de

la serie.

Ejemplo 9. Usted decide ahorrar mensualmente $10.000 los cuales depositará al final de cada mes en una entidad

financiera que paga un interés del 2.5% mensual. ¿Cuánto habrá acumulado al cabo de 2 años?

A = $10.000

i = 2.5% mensual

n = 24 meses

F = ?

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F= $323.490,38

Ejemplo 10. Cuánto debe ahorrar mensualmente un estudiante que desea reunir $2'000.000 al final de sus 5 años de

carrera con el fin de montar su propia empresa, si los ahorros le rentan el 3% mensual?

A = ?

F = 2'000.000

n = 60 meses

i = 3% mensual

A= 12.265,92

Ejemplo 11. Usted va a comprar un carro que vale $5'000.000 bajo las siguientes condiciones:

cuota inicial: 40%

Saldo financiado a 5 años al 2% mensual con cuotas mensuales iguales.

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¿Cuánto pagará mensualmente?

P = $3'000.000

n = 60 meses

i = 2% mensual

A = ?

A= $86.303,90

Ejemplo 12. Usted asume una hipoteca a 25 años por $75’250.000, con una tasa de interés mensual del 2%. Piensa

ser propietario de la casa durante 4 años y luego venderla, liquidando el préstamo con un pago final. ¿Cuál será el monto

de este pago al final de 4 años?. Las cuotas son fijas y deberán ser pagadas mensualmente.

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Primero hallamos el valor de la mensualidad:

A = P [ ( 1 + i )n i ] / [ ( 1 + i )n - 1 ]

A = 75’250.000 [ ( 1 + 0,02 )300 ( 0,02 ) ] / [ ( 1 + 0.02 )300 -1 ]

A = $1’508.968,521

Ahora hallamos cuánto se ha pagado durante los primeros 4 años:

F = A [ ( 1 + i )n - 1 ] / i

F = 1’508.968,52 [ ( 1 + 0,02 )48 - 1 ] / 0,02

F = $119’741.962,6

Al final de los primeros 4 años se han pagado $ 119’741.962,6

Si llevamos el valor de la hipoteca

...