Matematicas

El método de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes expresiones:

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El método de Gauss - Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

Aplicaciones de Matrices

Ejemplos:

1. Un colegio universitario está comparando sus datos de admisión para los últimos dos años. Tiene interés en la distribución de estudiantes locales en relación con los extranjeros y en la matrícula por sexo. Las matrices A y B resumen el número de estudiantes admitidos en los últimos dos años.

M F M F

Halla la admisión total para cada categoría durante los pasados dos años.

2. Suponga que el colegio universitario del problema anterior está esperando un aumento de un 20% en las admisiones para cada categoría de estudiantes para el tercer año. ¿Cuál será la nueva matrícula en el colegio?

3. Un maestro preparó tres exámenes a cinco estudiantes. Ha decidido considerar los primeros dos exámenes a un 30% cada uno, y el tercero a un 40%. El maestro desea calcular los promedio finales para los cinco estudiantes empleando la multiplicación de matrices. La matriz de calificaciones es:

Los porcentajes están indicados en la matriz fila: B = (0.30 0.30 0.40).

Combina estas matrices en tal forma que se pueda calcular las puntuaciones promedios para los cinco estudiantes.

Ejercicios:

1. Una compañía manufacturera de televisores LCD HDTV fabricó tres modelos de diferente calidad en tres tamaños distintos. La capacidad de producción (en miles)

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