Mecanismos

ANÁLISIS DE POSICIÓN DE MECANISMOS PLANOS POR MÉTODOS GRÁFICO Y ANALÍTICO. (Método gráfico).

Cuando se analiza un mecanismo, es necesario asociar las posiciones relativas de los centros de articulación sucesivos. Para ello, se definen los vectores de referencia de posición en cada eslabón y se plantea una ecuación vectorial conocida como “ecuación de cierre de circuito”, que relaciona la posición absoluta de cada una de las articulaciones del mecanismo.

Tomando como ejemplo el mecanismo de manivela-biela-corredera, podemos observar que cada elemento del mecanismo está interrelacionado con otros; es decir, está restringido en su movimiento y sus articulaciones proporcionan dichas restricciones.

El mecanismo de manivela-biela-corredera mostrado, tiene una movilidad , es decir, tiene un grado de libertad; lo que implica que se debe definir la posición de uno de sus eslabones, para que puedan determinarse las posiciones de los demás eslabones. Cuando la corredera del mecanismo se desplaza a una ubicación conocida, es preciso encontrar los ángulos y , que son las direcciones de los vectores y . Dadas las dimensiones de los eslabones, se escribe la ecuación de cierre de circuito.

ANALITICA

De la figura observamos que:

X = R + r - r cosβ - R cosα……… (1)

En esta expresión tenemos que eliminar α, para quedarnos con las variables fácilmente medibles R, r, β, y ω.

Para eliminar cosα procedemos asν:

De la misma figura observamos que:

r senβ = R senα = h ………(2)

a² = b² + c² - 2bc cosα… … …(3)

Aplicando esta ecuación a la figura 1 tenemos:

h² = R² + R² cos²α - 2R (R cosα) cosα … … …(4)

Pero de la ecuación (2) podemos escribir

h² = r² sen²β

Por lo que sustituyendo este valor en el primer miembro de la ecuación (4) tenemos:

r² sen²β = R² + R² cos²α - 2R² cos²α

Sumando algebraicamente los términos R² cos²α tenemos:

r² sen²β = R² - R² cos²α

o sea R² cos²α = R² - r² sen²β

De donde: R cosα = √ R² - r² sen²β

Sustituyendo este valor en (1) tenemos:

X = R + r - r cosβ - √ R² - r² sen²β

De donde:

X = r(1 - cosβ) + R -√ R² - r² sen²β

Multipliquemos y dividamos el radical por R

X = r (1 - cosβ) + R - R √ R² - r² sen²βR

De donde podemos escribir

Saquemos como factor común a R² dentro del radical

Saquemos del radical a R²

La expresión dentro del radical se resuelve por la formula del binomio de Newton:

(a - b)n = an - nan - 1b + n (n - 1) an - 2 b2 - n (n-1)(n-2) an - 3 b3 + ... ... ...

2! 3!

Aplicando esto a la expresión dentro del radical nos queda:

Pero los términos de la serie se vuelven insignificantes después del 2° término; Por lo tanto tenemos como resultado:

Sustituyendo este valor en la ecuación (5) tenemos:

Ecuación que nos da el desplazamiento del pistón El efecto de oblicuidad de la biela, dado por el termino r2 sen²β, hace que el

2R

Movimiento del pistón no sea armónico.

Obtengamos ahora la ecuación que nos da la velocidad del pistón

Por lo tanto

Pero: 2 senβ cosβ = sen2β

Por lo tanto la ecuación nos queda:

Ecuación que nos da la velocidad del pistón.

Obtengamos ahora la ecuación que nos da la aceleración del pistón

...