Monografia Funcionamiento Montaña Rusa

1) Introducción

Las montañas rusas son una de las atracciones más populares dentro de los parques de diversiones, a simple vista notamos que consta de un sistema de rieles por el que se mueve un carro y que sigue un trayecto con diversas subidas y bajadas. Pero, si bien lo que observamos parece simple, la construcción de una montaña rusa es muy compleja debido a que hay muchos aspectos que se deben considerar a la hora de realizar esta tarea.

En este trabajo se pretende analizar cómo distintos conceptos de la física y las matemáticas tienen que ser tomados en cuenta en el diseño de una montaña rusa para que esta resulte apropiada.

Si hablamos de una montaña rusa, inevitablemente nos estamos refiriendo al movimiento de un cuerpo en el espacio, por lo tanto tendremos que tener en claro los conceptos de velocidad y aceleración. La velocidad indica la rapidez con la que se mueve un objeto, en este caso el carro de la montaña rusa, y en qué dirección lo hace. Si bien la rapidez del carro puede permanecer constante a lo largo del trayecto, la velocidad no, debido a que se presentan cambios en la dirección en que se mueve; estos cambios se producen cuando una fuerza es aplicada al cuerpo. La fórmula para representar la velocidad es la siguiente:

v=(cambio de posición)/(intervalo de tiempo)

El que tan rápido se producen estos cambios es lo que se entiende por aceleración, siempre que un cuerpo se mueva más rápido, más lento o cambie su dirección está cambiando su aceleración. La aceleración se define de la siguiente manera:

a=(cambio de velocidad)/(intervalo de tiempo)

Podemos notar entonces que la aceleración no se refiere solo al cambio de velocidad, sino que es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

Otros conceptos a tener en cuenta son los referidos en las leyes de Newton, las cuales se enuncian en tres principios utilizados para explicar el movimiento de los objetos. La primera de ellas es la ley de inercia, que establece que todo cuerpo que se encuentre en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, mantendrá ese estado siempre y cuando no se le aplique alguna fuerza. Es decir, que un cuerpo no puede cambiar por si sólo su estado inicial. La segunda ley es la de la fuerza, que explica que es lo que ocurre cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza neta, el resultado de esto es que se produce una aceleración del objeto y, por lo tanto, se puede relacionar la aceleración producida con la masa del objeto y la fuerza que fue aplicada. Cuanto mayor sea la fuerza, mayor será la aceleración del objeto, pero cuanto mayor sea la masa del objeto la aceleración disminuirá. Finalmente, la última ley, es la ley de acción y reacción y postula que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo este ejercerá una de igual intensidad y dirección, pero en sentido contrario; entonces podemos comprender que para cada acción existe una reacción opuesta e igual.

En este trabajo se analizará la construcción de una montaña rusa, pero solo se diseñará una curva de la misma, que representará una subida seguida de una bajada. El primer paso para diseñar una montaña rusa es calcular adecuadamente la altura de la primera inclinación, que es lo que le dará al carro la energía potencial necesaria para poder realizar todo el recorrido, cuanto más alta sea la subida más lejos podrá el carro ser empujado por la fuerza de gravedad. A medida que el carro comienza a bajar esta energía potencial se transforma en energía cinética. Este proceso de conversión de energía se va a repetir a lo largo del recorrido, siempre que haya una subida, la energía cinética se transformara en energía potencial, y siempre que haya una bajada ocurrirá lo opuesto.

Luego, se deben calcular las fuerzas horizontales y verticales que el carro ejerce sobre cada punto del trayecto, para asegurarse que la estructura sea adecuada y pueda soportar los esfuerzos. También se deben calcular las fuerzas ejercidas sobre los pasajeros, estas generalmente son llamadas fuerzas g y son múltiplos de la fuerza que la gravedad ejerce sobre nuestro cuerpo.

Si observamos la forma de una montaña rusa podemos asociarla con funciones matemáticas conocidas, pero debemos tener en cuenta que se hace imposible emplear una misma expresión para todo el trayecto, entonces a la hora de diseñarla se debe recurrir a las funciones definidas por tramos. En este tipo de funciones se definen empleando varias expresiones, y cada una es utilizada para distintos rangos de valores de la variable independiente, en nuestro caso, x. Si bien se puede aplicar este tipo de funciones para construir una montaña rusa, también se debe tener en cuenta que las funciones deben ser continuas, ya que esto implica

Una función es continua en x=a si:

lim┬(x→a)⁡〖f(x)=f(a)〗

Es decir que, siempre que una función sea igual a su límite en x=a, la función será continua en ese punto, en caso contrario será discontinua, si esto ocurre al graficar la función, la misma presentará discontinuidades, y por lo tanto, en el caso de la montaña rusa esto significará que los cambios de la misma son bruscos. relacionar con el porqué anterior. Esta es la razón por la cual las funciones que se utilicen para la construcción de una montaña rusa deben ser continuas.

Otra herramienta matemática muy importante que se utilizó en este trabajo es la derivada de una función. La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente, es decir que representa la razón de cambio instantánea de y con respecto a x, cuando x toma determinado valor. La definición de la derivada de una función f en un número a es la siguiente:

f^' (a)=lim┬(x→0)⁡〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗

Esto nos servirá para aplicarlo con los conceptos físicos; tal como se mencionó anteriormente, la velocidad de un cuerpo es la razón de cambio del movimiento con respecto al tiempo, por lo tanto si se toma a s(t) como la función que representa la posición del objeto, su derivada s’(t) = v(t) será la velocidad del objeto. Entonces, si a esta nueva función se la vuelve a derivar, obtendremos la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir la aceleración del objeto v’ (t) = a (t). Así, s(t) es la función de posición, su derivada la función velocidad y su segunda derivada la función aceleración, que es a la vez la derivada primera de la velocidad.

2) Desarrollo

Dado que una montaña rusa completa consta de un trayecto muy extenso y complejo para analizar la manera en que esta fue construida, en este trabajo nos centraremos en una parte de la misma, que represente una subida y una bajada. Para esto se utilizará una parábola para unir los tramos rectos que conforman la subida y la bajada.

A partir del problema planteado, se realizó el siguiente gráfico, que representa los cambios en la trayectoria de la montaña rusa.

Gráfico 1

Donde L1(x) y L2(x) son dos rectas que se conectan entre si mediante parte de la parábola f(x)=ax^2+bx+c . También se debe tener en cuenta que la recta L1(x) es tangente a la parábola f en el punto P y tiene una pendiente de ascenso de 0,8 y la recta L2(x) es tangente a la parábola en el punto Q y tiene una pendiente de descenso de -1.6. Entonces:

L1(x)=0,8x+d

L2(x)= -1.6x+e

Si bien no se conocen las coordenadas del punto Q, se sabe por el diseño que la distancia horizontal que separa al mismo de P es de 100 pies. El punto P se situará en el origen, por lo tanto sus coordenadas son (0; 0), y, al saber que la separación horizontal que mantiene el punto Q con respecto a P, podemos calcular su valor de x, entonces las coordenadas de Q por el momento son (100; y). Para poder asegurarnos que el trayecto es suave (sin cambios abruptos) en estos puntos es necesario encontrar ecuaciones para a, b y c, de forma tal que L1(x) y L2(x) sean tangentes a f(x) en P y Q, respectivamente. Otro dato que se obtiene observando el grafico 1 es que, al estar P situado en el origen, el valor de c es 0, ya que reemplazando en la ecuación de la parábola x e y por los valores de P:

f(0)=a0^2+b0+c

c=0

Realizando nuevamente el procedimiento anterior se pudo obtener una ecuación para la recta L1(x), que quedó de la siguiente manera:

L1(0)=0,8x+0

L1(x)=0,8x

Luego, obteniendo la derivada de la función □(24&f'(x))=2ax+b se pudieron obtener las ecuaciones para a y b,

{█(f^' (0)=L1^' (0) @f'(100)=L2^' (100))┤

{█(2a0+b=0,8@2a100+b=-1,6)┤

Luego de haber planteado las ecuaciones, el sistema se cargo en la calculadora y con la función para resolver ecuaciones se obtuvieron los valores para a y b, que resultaron ser:

a=-0,012

b=0,8

Después, teniendo estos valores se completó la fórmula paraf(x) que quedó de la siguiente manera:

(1) f(x)=-0,012x^2+0,8x.

Utilizando la ecuación 1 y la coordenada x del punto Q se pudo obtener la coordenada y del mismo:

f(100)=-0,012×〖100〗^2+0,8×100

f(100)=-40

Q= (100; -40)

Luego, teniendo este valor se calculó la ordenada al origen de la recta L2(x) :

-40=-1,6×100+e

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