MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA CÁLCULO DE DEFORMACIONES

INTRODUCCIÓN

Para estructuras de una cierta complejidad el método anterior resulta de muy difícil aplicación, ya que requiere integrar un número elevado de ecuaciones diferenciales para cada elemento lineal dela estructura. Un método aproximado consiste en presuponer aproximadamente las deformaciones asociadas al pandeo, que satisfaga las condiciones de contorno en los extremos de las piezas, y en igualar la energía de deformación Wint con el trabajo exterior realizado por la fuerza que produce el fenómeno de pandeo Wext durante la deformación, Wint = Wext.

Esas dos ecuaciones pueden escribirse en términos el campo de desplazamientos de los momentos flectores asociados. Para cada elemento lineal la energía de deformación y el trabajo exterior vienen dados por:

OBJETIVOS

Objetivo General:

• Estudiar y calcular las deformaciones con los Métodos Energéticos.

Objetivos Específicos:

• Determinar las diferentes formas de calcular deformaciones en una viga.

• Presentar los distintos casos que se pueden presentar en las vigas.

MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA CÁLCULO DE DEFORMACIONES

Trabajo Externo

Trabajo: El trabajo hecho por una fuerza es el producto de la fuerza por la distancia que se mueve al aplicar la misma. Bajo cargas aplicadas, la estructura se deforma y sus fibras desarrollarán esfuerzos y deflexiones. El producto de las fuerzas internas por los desplazamientos es el trabajo interno del sistema.

Trabajo externo: Si una estructura es de un material elástico y tiene una carga Fi en un punto i y una deformación infinitesimal dvi es inducida en el punto i , por otra carga, entonces si Fi permanece constante el trabajo de Pi debido al desplazamiento dvi es dW = Fi * dvi . El trabajo es el área bajo la curva esfuerzo-deformación es:

Si la deformación es inducida por la carga misma, para un material elástico, el desplazamiento es proporcional a la carga, y tiene un valor vi = Fi / K, donde K es una constante de proporcionalidad. El trabajo de Fi para una deflexión dvi es el área bajo la curva fuerza-deformación o sea,

Para un material no linear, se puede calcular el trabajo elástico como la integral del área bajo la curva de fuerza-deformación. El área por encima del diagrama es llamado trabajo complementario y es definido como:

Para materiales linealmente elásticos el trabajo complementario es igual al trabajo elástico, pero para materiales elásticos no lineales el trabajo complementario y el trabajo elástico son diferentes.

Trabajo Interno

Fuerzas internas: son desarrolladas en la estructura elástica en respuesta a las cargas aplicadas y sus deformaciones tienen la capacidad de desarrollar trabajo y restaurar la estructura a su configuración original una vez las cargas han sido removidas.

Para un Elemento infinitesimal de la estructura bajo cargas causando un esfuerzo normal s, la fuerza normal en esta sección es s dy dz, y el cambio de longitud es el producto de la deformación unitaria con el largo del elemento. Puesto que las cargas se incrementan desde cero hasta sus valores actuales, así mismo lo hacen los esfuerzos y las deformaciones. Entonces, el trabajo interno de un elemento infinitesimal cuando la carga se ha aplicado en su totalidad y está causando una deformación unitaria e es:

Trabajo interno total: El trabajo interno de un sistema bajo cargas normales o esfuerzo axial es la integral de la energía de un elemento infinitesimal sobre el volumen del sistema.

Para deformaciones debidas directamente a cortante, la energía elástica puede ser encontrada de manera similar sustituyendo esfuerzos normales y deformación por esfuerzos y deformaciones de cortante.

El factor es llamado el factor de forma y puede ser calculado determinando determinado el valor de la constante la cual depende de la configuración de la sección. Para secciones rectangulares es 1.2 y para circulares es 1.1. Para secciones en forma de I se puede considerar igual a 1.0.

Trabajo Real

Por conservación de energía si una estructura se deforma no hay cambio en la energía total del sistema. Por tanto, el trabajo externo debido a las cargas externas que actúan sobre la estructura debe ser igual al trabajo interno desarrollado por las fuerzas internas a través de las respectivas deformaciones.

Para una viga en voladizo con luz L y carga F en extremo libre, la deformación es:

Utilizando energía de deformación debido a cortante, se obtiene:

Trabajo Virtual

Si una estructura es sometida a desplazamientos virtuales adicionales o fuerzas virtuales, resultan igualmente desplazamientos adicionales o fuerzas adicionales. El trabajo de las fuerzas reales sobre los desplazamientos virtuales, o el de los desplazamientos reales sobre las fuerzas virtuales, es el TRABAJO VIRTUAL DEL SISTEMA.

Podemos inducir TRABAJO VIRTUAL imponiendo desplazamientos virtuales o fuerzas virtuales. Para una barra axial, la cual es en equilibrio bajo las fuerzas extremas F1 y F2, requiere que F1= F 2 = F, donde F es la fuerza axial en un punto x. El trabajo virtual de un elemento infinitesimal es F*d( u) / dx , y para toda la barra el trabajo virtual es:

El trabajo virtual de las fuerzas externas es:

En términos del principio de trabajo virtual

...