Numeros Enteros

República Bolivariana De Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria

Aldea Universitaria “Misión Sucre” Libertador

Tunapui Municipio Libertador

Estado Sucre

Profesor: Bachilleres:

Luis Medina Ramón Pante.

David Marcano

José Estaba

Tunapui, Octubre 2013.

1. ¿QUE SON LOS NÚMEROS NATURALES?

Son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N.

N= {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede estar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

2. DEFINICIÓN EN TEORÍA DE CONJUNTOS

En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.

Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple:

1. Para cada ,

2. La relación es un orden total estricto en

3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden

Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores. Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.

Se define -según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:

De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por ejemplo:

• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)

• 1 es el sucesor de 0, entonces

• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces .

• y en general

Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión:

Es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .

También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus antecesores. Así si y sólo si .

Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo - Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de demostración conocida como inducción matemática.

Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto inductivo.

Se define la suma por inducción mediante:

Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.

De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones:

Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.

Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación biyectiva de A sobre B, es decir, existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales. Las operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.

3. NÚMEROS ENTEROS.

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3,...}, que proviene del alemán Zahlen.

Los números enteros no tienen parte decimal.

−783 y 154 son números enteros

45,23 y −34/95 no son números enteros

Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

4. NÚMEROS CON SIGNO

Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:

Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.

Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

5. LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados

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