Numeros Naturales, Enteros y Racionales

• Numeros Naturales, Enteros y Racionales

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ALGEBRA 1.1 NUMEROS NATURALES,ENTEROS,FRACCIONES,ARITMETICA Y EXPONENTES Los n´umeros naturales. Se introducen (de modo totalmente ingenuo y esquem´atico...

dicion de monomios y polinomios

Debemos identificar los términos semejantes para poderlos sumar y encontrar el resultado.

Ejemplo:

* -7ab+3ab2+4ab-ab2 = -3ab+2ab2

* (-7ab+2ab2-6a2b)+(ab+4a2b)= -6ab+2ab2-2a2b

Ejercicios:

Resta de monomios y polinomios

Debemos tomar en cuenta el signo (-) antes de un paréntesis. Después de quitar el paréntesis y cambiar el signo se realiza como una suma.

Ejemplo:

* -(6ay)-(2ay)= -6ay-2ay= -8ay

* (-6a2b-3ab2+7a2b2)-(-4a2b+ab2-3a2b2)=

-6a2b-3ab2+7a2b2 +4a2b-ab2+3a2b2= -2a2b-4ab2+10a2b2

Ejercicios:

Multiplicacion de monomios

Los coeficientes se multiplican (tomando en cuenta sus signos), los exponentes de las literales no comunes pasan igual.

Ejemplo:

* (-3a4b2)(-5ab3)= +15a5b5

* (-2a4)(-3b3)(-4c2)= -24a4b3c2

Ejercicios:

Multiplicacion de un polinomio por un monomio

Cada unos de los términos del polinomio se multiplica por el monomio.

Ejemplo:

* (-5x2y)(-4x4-7y3+5x2y2)= +20x6y+35x2y4-25x4y3

Ejercicios:

Multiplicacion de polinomios

Cada uno de los términos del polinomio se multiplica por los términos del segundo polinomio, de tal manera que los términos semejantes se correspondan para poderlos sumar.

Ejemplo:

* (x+6) (x+5) = x2+11x+30 >> x2+5x+6x+30 = x2+11x+30 <<

Ejercicios:

Division de monomios

Los coeficientes se dividen (tomando en cuenta los signos) los exponentes de las literales comunes del dividendo se restan con los del divisor.

Ejemplo:

* 20a4b510a2b2=2a2b3

Ejercicios:

Division de un polinomio entre un monomio

Cada uno de los términos del polinomio se divide entre el monomio

Ejemplo:

* 20ab3-30a2b-50ab2-10a3b3= +2a-2+3a-1b-2+5a-2b-1

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término.

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes.

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término.

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

La ley de los Senos dice así:Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y

α

,

β

y

γ

(minúsculas)son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la

α

está en el ángulo opuesto de A. La

β

está en el ánguloopuesto de B. Y la

γ

está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrámal.Resolución de triángulos por la ley de los SenosResolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partirde los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolvercon la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de loscosenos lo puede resolver.En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y unlado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo quehacen esos dos lados, usa la ley del coseno.Supongamos que te ponen el siguiente problema:Resolver el triángulo siguiente:Llamemos

β

al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;

α

al ángulo de 43° y A al lado de 5.Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A = 5B = ?C = ?

α

= 43°

β

= 27°

A BC

βγ α

A BC

βγ α

γ

= ?El ángulo

γ

es muy fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos deun triángulo siempre suma 180°. O sea que cuando te den dos ángulos de untriángulo, el tercero siempre sale así:

γ

= 180° -

α

–

β

Esta fórmula es válida para cualquier triángulo. Así que apréndetela bien oapúntala por ahí porque la usarás muchísimo en matemáticas.Sustituimos en ésta expresión los ángulos que nos dan y queda así:

γ

= 180° -43°- 27° = 180° - 70° = 110°

γ

= 110° Ya tenemos entonces los tres ángulos

α

,

β

y

γ

.Para encontrar los lados faltantes usamos la ley de los senos:Sustituyendo queda:Nos fijamos ahora sólo en los dos primeros términos:Haremos de cuenta como que el tercer término, (la que tiene la C) no existeahorita, de la igualdad que está en el recuadro se puede despejar la B, (como elsen (27°) está dividiendo abajo, pasa del lado izquierdo multiplicando arriba): y calculamos ésta expresión:3.32838 = B y esto es lo que vale B. Ya nada más falta calcular C. Para ello, volvemos a usar la ley de los Senos, peroahora si nos vamos a fijar en una igualdad que tenga a la C:(Observa que ya sustituimos el valor de la B en la igualdad.)Despejemos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del ladoizquierdo multiplicando arriba):hacemos las

operaciones

y queda:6.88925 = C y con este resultado ya queda resuelto todo el triángulo.Nota que si en lugar de haber usado la igualdad de la derecha hubiéramos usadola de los extremos, el resultado habría sido exactamente el mismo:o escrito ya sin el término de en medio:igual despejamos la C, (como sen (110°) está dividiendo abajo, pasa del ladoizquierdo multiplicando arriba): y si haces las operaciones verás que te dá C = 6.88925 igual que antes.

La ley del Coseno dice así: y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C,entonces dice así:donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y

α

,

β

y

γ

(minúsculas)son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos

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