Ondas

Ondas.

Monodimensionales: Son aquellas que, como las ondas en los resortes o en las cuerdas, se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio.

Bidimensionales: Se propagan en cualquiera de las direcciones de un plano de una superficie. Se denominan también ondas superficiales y a este grupo pertenecen las ondas que se producen en la superficie de un lago cuando se deja caer una piedra sobre él.

Tridimensionales: Son aquellas que se propagan en todas las direcciones (espacio ó 3D).

Ondas en dos y tres dimensiones.

Las ecuaciones de ondas en dos y tres dimensiones pueden producirse exactamente por el mismo método que las de una dimensión. Estas ecuaciones serian apropiadas, por ejemplo, para una teoría sencilla de ondas en agua (bidimensionales) o de ondas acústicas (tridimensionales). Considerando por separado cada componente del desplazamiento, puede demostrarse que la ecuación de ondas general es

∇^2 ψ=1/v^2 (∂^2 ψ)/(∂t^2 )

El operador ∇^2 se llama laplaciano y es igual a (∂^2/(∂x^2 ))+(∂^2/(∂y^2 )) en dos dimensiones, y (∂^2/(∂x^2 ))+(∂^2/(∂y^2 ))+(∂^2/(∂z^2 )) en tres. Como anteriormente, v es la velocidad de la onda en el medio.

Es a menudo conveniente considerar la solución de la ecuación ∇^2 ψ en un sistema de coordenadas polares esféricas en tres dimensiones y en coordenadas polares planas en dos dimensiones. Las ecuaciones de transformación son las siguientes:

Dos dimensiones. Tres dimensiones.

x=rcos∅ x=rsen∅cos∅

y=rsen∅ y=rsen∅sen∅

En estos sistemas de coordenadas el operador laplaciano adopta la forma siguiente para dos y tres dimensiones

∇^2=1/r ∂/∂r r ∂/∂r+1/r^2 ∂^2/(∂∅^2 ) (Para dos dimensiones)

∇^2=1/r^2 ∂/∂r r^2 ∂/∂r+1/(r^2 senθ) ∂/∂θ senθ ∂/∂θ+1/(r^2 〖sen〗^2 θ) ∂^2/(∂∅^2 ) (Para tres dimensiones)

La diferencia que existe entre las propagaciones de ondas unidimensionales y tridimensionales no debe sorprender. En ausencia de fuerzas de fricción es de esperar que la energía de las ondas transportadas en una cuerda unidimensional sea la misma en todos sus putos. La propagación sin torsión puede considerarse como una manifestación de ello. En tres dimensiones la energía de la onda se reparte

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