PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS

UNIDAD 4

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Y PRUEBAS NO PARAMETRICAS

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual proviene una muestra tiene una distribución especificada o supuesta.

Sea X: variable aleatoria poblacional

f0(x) la distribución (o densidad) de probabilidad especificada o supuesta para X

Se desea probar la hipótesis:

Ho: f(x) = f0(x)

En contraste con la hipótesis alterna:

Ha: f(x) no= f0(x) (negación de Ho)

PRUEBA JI-CUADRADO

Esta prueba es aplicable para variables aleatorias discretas o continuas.

Sea una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con una distribución especificada f0(x) que es de interés verificar.

Suponer que las observaciones de la muestra están agrupadas en k clases, siendo oi la cantidad de observaciones en cada clase i = 1, 2, ..., k

Con el modelo especificado f0(x) se puede calcular la probabilidad pi que un dato cualquiera pertenezca a una clase i.

Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada ei para la clase i, es decir, la cantidad de datos que según el modelo especificado deberían estar incluidos en la clase i:

ei= pi n, i = 1, 2, ..., k

Tenemos entonces dos valores de frecuencia para cada clase i

oi: frecuencia observada (corresponde a los datos de la muestra)

ei: frecuencia esperada (corresponde al modelo propuesto)

La teoría estadística demuestra que la siguiente variable es apropiada para realizar una prueba de

bondad de ajuste:

Definición

Estadístico para la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrado

χ2= ∑=(Oi-ei)2/ ei distribución Ji-cuadrado con ν=k–r–1 grados de libertad

donde r es la cantidad de parámetros de la distribución que deben estimarse a partir de la muestra

Es una condición necesaria para aplicar esta prueba que ∀i, ei ≥ 5 .

Dado un nivel de significancia α se define un valor crítico χ2a para el rechazo de la hipótesis propuesta Ho: f(x) = f0(x).

Si las frecuencias observadas no difieren significativamente de las frecuencias esperadas calculadas con el modelo propuesto, entonces el valor de estadístico de prueba χ2 será cercano a cero, pero si estas diferencias son significativas, entonces el valor del estadístico χ2 estará en la región de rechazo de Ho2 2 H0 rechazo ⇔ χ > χα :

Ejemplo

Se ha tomado una muestra aleatoria de 40 baterías y se ha registrado su duración en años. Estos resultados se los ha agrupado en 7 clases en el siguiente cuadro

i clase (duración) frecuencia observada (oi)

1 1.45 – 1.95 2

2 1.95 – 2.45 1

3 2.45 – 2.95 4

4 2.95 – 3.45 15

5 3.45 – 3.95 10

6 3.95 – 4.45 5

7 4.45 – 4.95 3

Verificar con 5% de significancia que la duración en años de las baterías producidas por este fabricante tiene duración distribuida normalmente con media 3.5 y desviación estándar 0.7

Solución

Sea X: duración en años (variable aleatoria contínua)

1) Ho: X ~ N(3.5,0.7) (distribución normal, µ=3.5, σ=0.7)

2) Ha: no H0

3) α = 0.05

Cálculo de la probabilidad correspondiente a cada intervalo

p1 = P(X≤1.95) = P(Z≤(1.95 – 3.5)/0.7) = 0.0136

p2 = P(1.95≤X≤2.45) = P((1.95 – 3.5)/0.7 ≤Z≤ (2.45 – 3.5)/0.7) = 0.0532

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