Paraboloide Hiperbolico

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

HISTORIA:

Es relativamente reciente, la aplicación de la superficie del paraboloide hiperbólico en la historia de la construcción, pues aun cuando las ecuaciones matemáticas que lo definen, se remontan al siglo XVII fue posiblemente Antonio Gaudí (1852-1926) el primero en emplear la forma en el templo de la sagrada familia (Barcelona) inspirado en el significado religioso que para él, representaba la formación de esa superficie.

La primera cubierta laminar en forma de paraboloide hiperbólico, fue construida por Giorgio Baroni, en Milán, alrededor del año de 1934; correspondiendo al arquitecto FELIX CANDELA, el mérito de haber dado el impulso decisivo a esta forma construida a través de sus extraordinarias realizaciones.

Por comodidad y para abreviar, se acostumbra designar al paraboloide hiperbólico como HYPAR o P.H. que de aquí en adelante emplearemos.

El PH reúne una serie de características, que lo hacen ventajoso, en relación a otras formas empleadas en la construcción laminar.

Tiene doble curvatura, consecuentemente la rigidez necesaria en un cascaron.

Es una superficie reglada, lo cual facilita el encofrado, reduciendo notablemente los costos.

Matemáticamente son calculables, pudiéndose aplicar métodos simplificados de análisis con resultados satisfactorios.

Combinadas, adecuadamente, pueden ser nuevas formas de expresión en la arquitectura moderna.

DEFINICION DE LA SUPERFICIE

El PH, puede ser definido como una superficie de traslación o por alabeamiento. Superficie de traslación (silla de montar)

La traslación paralelamente a sí misma, de una parábola vertical (generatriz) apoyada en otra de convexidad opuesta (parábola colgante, directriz) genera una superficie con forma de silla de montar y define el PH. Los planos de la directriz y de las generatrices son verticales y ortogonales. La superficie así generada presenta dos curvaturas puestas, una cóncava y otra convexa, por lo que es clasificada como ANTICLASTICA.

De la superficie PH en forma de silla de montar, que contiene generatrices rectas, es posible tener una superficie de doble curvatura y delimitada por cuadriláteros alabeados de bordes rectos.

SUPERFICIE POR ALABEAMIENTO

A partir de un plano horizontal (ABCO) se ha provocado una depresión en el punto B, en tal forma, que ahora existirá una diferencia dependiente entre el lado AO y el B´C; a esa diferencia de pendientes entre dos lados opuestos, se le conoce como ALABEO. A partir de esta figura, puede ser definida la superficie del PH en la que una generatriz, recta AO se desplaza paralelamente a sí misma, apoyada en dos rectas directrices OC y AB´ alabeadas en el espacio: así, la generatriz, divide a las dos rectas oblicuas en un número igual de segmentos idénticos.

Mediante el desplazamiento de una recta, ha sido posible engendrar una superficie de doble curvatura, de aquí la clasificación de superficie reglada.

LA GEOMETRIA

Es importante para el arquitecto el estudio y conocimiento de la geometría en la superficie limitante en el espacio propuesto, que le permitirá, el análisis ambiental interior y exterior, con los detalles que integran el conjunto arquitectónico; además, hay que considerar que el desarrollo constructivo con superficies de PH es esencialmente geométrico.

El PH puede ofrecer innúmeras posibilidades de formas a través de combinaciones e intersecciones de, formas básicas pero siempre buscando una conciliación, entre los requerimientos arquitectónicos y estructurales que conduzcan a la solución óptima.

Se va a deducir la ecuación del PH a partir de la superficie por alabeamiento.

A partir de un rectángulo AOCB en el cual se ha determinado el punto B para provocar la flecha (h) del cascaron y con la superficie referida a un sistema de ejes (xyz) se va a determinar la profundidad (z) en cualquier punto de la superficie.

Por triángulos semejantes se tiene:

Fi/b=z/y∴Fi=b/y h/a=Fi/x∴Fi=x/a h

Igualando los valores de Fi:

b/y z=x/a h∴ z=h/ab xy

Si los lados del cascaron (a y b) son constantes, así como la flecha (h) se pueden igualar con otra constante que designaremos como (k):

k=h/ab ∴ z=kxy →1 ecuacion de la superficie del PH

Todos los planos verticales, paralelas a los ejes (x e y) que cortan a la superficie, definen una serie de líneas rectas; ahora se investigara la superficie en otras direcciones.

Ahora, el sistema de ejes (xyz) se va a girar 45°; pasando a ser (x´y´z´).

si∝=45°,cos∝=sen∝=√2/2

x=x^1 cos∝+y^1 sen∝=√2/2 (x^1+y^1)

y=x^1 sen∝-y^1 cos∝=√2/2 (x^1-y^1 ) substituyendo(x,y)enla ecuacion 1:

z=kxy=k[√2/2(x^1+y^1)][√2/2(x^1-y^1)]=0.5k(x^1+y^1)(x^1-y^1)

z=0.5k[(x^1 )^2-(y^1 )^2 ] → 2

Esta será la ecuación del PH referida al nuevo sistema de ejes (x´y´z´) la cual va a ser analizada.

Haciendo x^(1=constante) y aceptando el valor ya deducido de:

k=h/ab se obtiene a partir de la ecuación 2:

z=0.5k[(x^1 )^2-(y^1 )^2 ]=0.5k(x^1 )^2-0.5k(y^1 )^2

z-0.5k(x^1 )^2=-0.5k(y^1 )^2

Si z^1=z-0.5k(y^1 )^2 →3 ecuacion de una parabola

Puesto que el signo del coeficiente en el término de segundo grado es negativo, la parábola abre hacia abajo.

Parábola cuando x^(1=CONSTANTE)

En la misma forma, haciendo y^(1=CONSTANTE)

z+0.5k(y^1 )^2=0.5k(x^1 )^2 si z^1=z+0.5k(y^1 )^2

Nos queda la ecuación de una parábola:

z^1=0.5k(y^1 )^2 →4

El signo de coeficiente en el término de segundo grado es positivo, por lo tanto, la parabola abre hacia arriba.

Si ahora hacemos z=CONSTANTE ∴ z=0.5k[(x^1 )^2-(y^1 )^2 ] dividiendo entre (z) ambos miembros queda:

1=0.5k/z [(x^1 )^2-(y^1 )^2 ] y haciendo k_3=0.5k/z

1=k_3 [(x^1 )^2-(y^1 )^2 ] →5

Esta es la ecuación de un plano horizontal cortando la superficie curvada, la elevación de la cual depende de los valores dados a (z). Este plano constante forma una hipérbola, de donde le viene el nombre de paraboloide hiperbólico.

A través del desarrollo anterior, se ha demostrado que la superficie del PH está constituida de una familia de parábolas ortogonales y de signos contrarios.

ESFUERZOS DE MEMBRANA EN EL PH

Los esfuerzos membranales en una cubierta laminar,

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