Movimiento Hiperbólico

Movimiento Hiperbólico

Kepler descubrió las leyes que rigen el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Los planetas giran en una órbita elíptica, uno de cuyos focos lo ocupa el Sol.

Sin embargo algunos cometas que penetran en el Sistema solar o algunas naves espaciales siguen una trayectoria hiperbólica y por tanto abierta donde el concepto de periodo no tiene significado. Al igual que en el movimiento elíptico cumplen la ley de las áreas barriendo el radio vector Sol-Cometa áreas iguales en tiempos iguales. La plasmación matemática de esta ley es la ley del Movimiento Hiperbólico: M=e sh F-F donde M es la anomalía media o ángulo que recorrería un planeta ficticio que se moviese en movimiento uniforme, e es la excentricidad de la hipérbola e>1 y F un parámetro que permite expresar la ecuación de la hipérbola en paramétricas. F representa en la ecuación la incógnita que resuelve el problema.

Sh (x)=(exp(x)-exp(-x))/2 es el Seno Hiperbólico. Aparecerá también elCoseno Hiperbólico Ch (x)= (exp(x)+exp(-x))/2

Aunque no se puede hablar de periodo si cabe hacerlo de movimiento medio n como n2=GM/a3 siendo a el semieje mayor de la órbita.

Si t0 es el instante de paso por el perihelio, la anomalía media en un instante t es M=n*(t-t0)

Para un tiempo dado, M es conocido, con la que queda una ecuación trascendente en F cuya resolución por el método de Newton. es el motivo de este applet. Las iteraciones se paran cuando la diferencia entre F(i-1) y Fi es menor que una cantidad prefijada. Para ello se ha usado la estructura de Java while (condicion).

Una vez hallado F se calculan las coordenadas cartesianas (x,y) del cometa o nave espacial. El sistema de ejes X e Y están en el plano de la órbita y se cortan en el Sol (o primario) estando dirigido el sentido positivo del eje X hacia el perihelio del cometa.

Las coordenadas x e y en función de la Anomalía F y la Anomalía Verdadera V cumplen:

x=r cos V=a (e- Ch F)

y=r sen V=a (e2-1)1/2 sh F

En el applet se calcula (x,y) mediante F lo que tiene la ventaja de omitir el cálculo de V mediante su relación con F. Posteriormente se calcula V mediante la relación entre polares y cartesianas tg V=y/x resolviendo la ambigüedad si x<0 añadiendo a V, 180º. Si V es negativo (4º cuadrante) se añade 360º. Se podría calcular r mediante r2= x2+y2 o mediante r=a (e ch F-1).

Calculando (x,y) para varios tiempos puede dibujarse la órbita y comprobar la ley de las áreas.

Ejemplo: Trazar el recorrido durante 3 días en las proximidades de Júpiter de la nave Voyager I.

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