Productos Notables
Enviado por jacas20051 • 8 de Noviembre de 2011 • 2.236 Palabras (9 Páginas) • 4.315 Visitas
PRODUCTOS NOTABLES
Definición
Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :
1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2. Binomio de Suma al Cuadrado
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
3. Binomio Diferencia al Cuadrado
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
4. Diferencia de Cuadrados
( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
= a3 + b3 + 3 ab (a + b)
5. Binomio Suma al Cubo
( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
6. Binomio Diferencia al Cubo
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)
7. Suma de dos Cubos • Diferencia de Cubos
a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)
• Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio
( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)
• Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)
• Identidades de Legendre
( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)
( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab
• Producto de dos binomios que tienen un término común
( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
•
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo
agrupando términos:
luego:
Producto de dos binomios conjugados
Véase también: Conjugado (matemática)
Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo
agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
Polinomio al cuadrado
Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo
multiplicando los monomios:
...