Referencias

9.1. Introducción

El concepto de lımite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la grafica de la figura y fijemonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas:

LIMITE

El concepto de límite funcional forma parte de las currícula de educación en la totalidad de las escuelas de ingeniería. Es puerta de entrada al análisis diferencial e integral, y, desde siempre, su enseñanza no ha dejado de preocupar a profesores e investigadores que ven cómo fracasan sus intentos para que los alumnos comprendan su significado, y cómo esta enseñanza, en muchas ocasiones, se acaba reduciendo a un conjunto de cálculos que tienen poco sentido. Hay que partir del hecho de que la comprensión de conceptos como el de límite funcional supone la utilización de estrategias mentales de alto nivel como las que se consideran en el pensamiento matemático avanzado y que la clave reside en la creación de un diseño de enseñanza adecuado a la capacidad y nivel del alumno, que genere un mínimo de interés por el estudio y que le facilite la adquisición de tales conceptos.

Límite matemático

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.

Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en a n → a.

Función continua

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de \R en \R es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología y del análisis real. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

3.4 Propiedades de los limites

El límite de una función en un punto es único.

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m.

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones.Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m.

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones.

Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m.

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

...