Rotaciones

Rotaciones.

Definir explícitamente a las rotaciones es más dificil, aunque intuitivamente sea claro a que nos referimos: “clavar una tachuela en algún punto y luego rotar al plano alrededor de ella un cierto ángulo”. Usando coordenadas polares sí es fácil definir la rotación de un ángulo α alrededor del origen, pues al ángulo de cualquier vector simplemente le sumamos el ángulo de rotación. Así que podemos definir la rotación de un ángulo α alrededor del origen como

pero ahora sumando ángulos. Además son transformaciones (biyectivas, insistimos una vez más) pues tienen inversa ρ−1α = ρ−α de tal manera que las rotaciones alrededor del origen forman un grupo de transformaciones de R2 (isomorfo al de los ángulos con la suma: los elementos de este grupo –transformaciones por definición, que más adelante denotaremos por SO (2)– están en correspondencia uno a uno con los puntos del círculo unitario S1 de tal manera que la composición corresponde a la suma de ángulos.)

Reflexiones.

Las reflexiones (que intercambian rígidamente los dos lados de una “linea espejo”) las podemos definir usando la proyección ortogonal a una recta. Dada una recta ` ⊂ R2, se le puede definir por la ecuación normal u•x = c con u un vector unitario y c ∈ R una constante (lo que habíamos llamado ecuación unitaria). Sabemos que para cualquier x ∈ R2 el vector que lleva a x ortogonalmente a la recta ` es:

(c−u•x)u

Pues

u•(x+ (c−u•x)u) = u•x+ (c−u•x) (u•u) = c .

Entonces, el reflejado de x en el espejo ` será empujarlo otro tanto del otro lado de `. Asi que definimos la reflexión de R2 a lo largo de ` : u•x = c (con |u| = 1) como ϕ` : R2 → R2 ϕ`(x) = x+2(c−u•x)u .

Obsérvese que no nos preocupamos de las propiedades de grupo respecto a las reflexiones porque no lo son. Ni siquiera contienen a la identidad.

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