Teorema De _Moivre

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por

z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ

Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de De Moivre

Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación

zn = 1,

donde n tiene uno de los valores n = 2, 3, ..., hallando así las raíces n-ésimas de la unidad. Puesto que z ≠ 0, podemos escribir z = rei0 y buscar valores de r y θ tales que

(reiθ)n = 1,

o sea

rneinθ = 1ei0.

Ahora bien

rn = 1 y nθ = 0 + 2k∏,

donde k es cualquier entero (k = 0, ±1, ±2,...). Por tanto, r = 1 y θ = 2k∏/n; y se deduce que los números complejos

z = exp(i[2k∏ / n]) (k = 0, ±1, ±2,...)

son raíces n-ésimas de la unidad. Tal como aparecen aquí, en forma exponencial, se ve inmediatamente que están en el círculo unidad centrado en el origen y están uniformemente espaciados sobre él cada 2∏ / n radianes. Evidentemente, pues, todas las raíces n-ésimas de la unidad distintas entre sí se obtienen escribiendo

z = exp(i[2k∏ / n]) = cos 2k∏ / n + i sen 2k∏ / n (k = 0, 1, 2,..., n-1)

y no se obtienen ya nuevas raíces con otros valores de k.

Así que el número de raíces n-ésimas de la unidad es n. Cuando n = 2, esas raíces son, claro está, ±1. Cuando n>= 3, corresponden a puntos situados en los vértices de un polígono regular de n lados. Este polígono está inscrito en el círculo unidad centrado en el origen y tiene un vértice en el punto correspondiente a la raíz z = 1 (k = 0). Si escribimos

ωn = exp(i[2k∏ / n])

y entonces observamos que, de acuerdo con la propiedad (eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...),

ωkn = exp(i[2k∏ / n]) (k = 0, 1, 2,..., n-1),

vemos que las distintas raíces n-ésimas de la unidad son simplemente

1, ωn, ω2n, ..., ωn-1n.

Nótese que ωnn = 1. Véase Figura 1 para la interpretación de las tres raíces cúbicas de la unidad como vértices de un triángulo equilátero. La Figura 2 ilustra el caso n = 6.

El método anterior puede usarse para hallar las raíces n-ésimas de cualquier número complejo no nulo z0 = r0 exp (iθ0). Tales raíces, que se obtienen resolviendo la ecuación zn = z0

en z, son los números

ck = n√r0 exp[ i(θ0 / n + 2k∏ / n)] (k = 0, 1, ..., n -1)

donde n√r0 denota la raíz n-ésima positiva de r0. El número n√r0 es la longitud de cada radio vector representante de las n raíces. Un argumento de la primera raíz c0 es θ0 / n, y los de las otras raíces se obtienen sumando múltiplos enteros de 2 ∏/n. Por consiguiente, al igual que ocurría con las raíces n-ésimas de la unidad, las raíces para n = 2 están siempre en extremos opuestos de un diámetro de un círculo, siendo una de ellas la negativa de la otra; y cuando n >= 3, están en los vértices de un polígono regular

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