Teoria De Conjuntos

Teoría de Conjuntos

NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.

Ejemplos de conjuntos:

o Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.

o N: el conjunto de los números naturales.

o Z: el conjunto de los números enteros.

o Q : el conjunto de los números racionales.

o R: el conjunto de los números reales.

o C: el conjunto de los números complejos.

Se puede definir un conjunto:

o por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.

o por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:

o A := {1,2,3, ... ,n}

o B := {pÎ Z | p es par}

Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a ÎA Þ a ÎB.

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y B ÍA;

esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma propiedad característica).

Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍA y A Í A;

B Í A es un subconjunto propiode A si A ¹ Æy B ¹ A.

El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota à (A).

Entonces, la relación B ÍA es equivalente a decir B Î Ã(A). Ejemplos:

Si A = {a,b} entonces à (A) = {Æ,{a},{b},A}.

Si a Î A entonces {a} ÎÃ(A).

Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de uno dado U, se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A -B := {a Î A | a ÏB}.

Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A -B) È (B -A).

Si A Î Ã(U), a la diferencia U - A se le llama complementariode A respecto de U,

y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano).

Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica:

o Æ ' = U .

o U ' = Æ .

o (A')' = A .

o A Í B ÛB' Í A' .

o Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}.

Se llama unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que son elementos de A o de B,

es decir: A È B := { x | x ÎA Ú x ÎB}.

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