Teoria De Conjuntos

Teoría de Conjuntos

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, en otras ocasiones en palabras es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

El matemático alemán George Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto. Un conjunto es una agrupación, de clases o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos aε S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza que o o (esto es, a no pertenece a S).

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

{a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}), o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto {a, b, c} también puede escribirse: { a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto {b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

Subconjuntos y Superconjuntos

Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando símbolos, R S, o S R. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R. Si R S y S R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S1 es un subconjunto propio de S2.

Unión e intersección

Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A ∪ B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A ∩ B. Si A y B no tienen ningún elemento común, su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo ∅ o {} . Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10}, A ∪ C = {2, 4, 6, 10, 14, 16, 26}, A ∩ B = {4, 6} y A ∩ C = ∅.

Diferencia y complementario

El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto E, el conjunto de los elementos que pertenecen a E pero no a A, es decir, E - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a E), lo que se escribe E - A = A' (que también puede aparecer como A, Ã o ~A).

Espacio Muestral

Un espacio muestral o espacio de muestreo es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A cada uno de sus elementos se los denomina como punto muestral o, simplemente, muestra.

Por ejemplo: si el experimento consiste en arrojar un dado, el espacio muestral será el conjunto formado por los puntos muestrales 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ya que esos son los resultados posibles de la acción de arrojar el dado. Por lo tanto, el espacio muestral del experimento es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

En algunos casos, los experimentos pueden tener dos o más espacios muéstrales posibles. Los espacios muéstrales pueden ser discretos (cuando el número de sucesos elementales es finito o numerable) o continuos (en los casos en que el número de sucesos elementales es infinito incontable).

Espacio muestral continuo: Es aquél que consta de un número infinito de elementos no numerables. Por ejemplo, el espacio muestral del experimento consistente en pesar a un alumno de Educación Infantil es un espacio continuo, aunque debido a que es imposible precisar con un instrumento de medida el peso exacto de un alumno, este espacio muestral puede parecer discreto.

Espacio Muestral Universo: es el conjunto universo de todos los resultados posibles de un experimento dado. Cada uno de sus elementos se denomina punto muestral o muestra.

El uso de conjuntos representados por diagramas de Venn, facilita la compresión de espacio muestral y evento, ya que el espacio muestral S, se puede equiparar con el conjunto universo, debido a que S contiene la totalidad de los resultados posibles de un experimento, mientras

...