Teoria De Juegos

FUNCIONES.

3.4.1 Concepto de función.- Es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo un valor de salida. El dominio de una función es el conjunto que consiste en todos los valores de entrada posibles. El rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida posibles.

Notación: ; que se lee: “y” es igual a “f” de “x”.

Cuando decimos que “y” es una función de “x” queremos decir que el valor de la variable “y” depende de “x” y se determina únicamente por el valor de la variable “x”. “x” es la variable de entrada y “y” es la variable de salida. Los papeles respectivos de las dos variables hacen que la variable “x” reciba el nombre de variable independiente y la variable “y” se denomine variable dependiente. De forma alternativa, a menudo nos referimos a la variable “y” como el valor de la función. “f” es el nombre de la función o regla de mapeo (proceso de asignación de valores de salida a los correspondientes valores de entrada).

Ejemplo 18 (pág. 145 Budnick).

Imagine que se le ha contratado como vendedor. Su patrón le indicó que su salario dependerá del número de unidades que venda cada semana. Si suponemos que:

y = salario semanal en pesos.

x = número de unidades vendidas cada semana

Se puede representar la dependencia definida por su patrón mediante la función:

y = f(x) donde “f” es el nombre de la función del salario.

Suponga que su patrón le dio la ecuación siguiente para determinar su salario semanal:

y = f(x) = 3x + 25

Dado cualquier valor para “x”, la sustitución de este valor en f dará como resultado el valor correspondiente de “y”. Por ejemplo, si deseamos calcular su salario semanal cuando vende 100 unidades, sustituir x = 100 en la función:

y = 3(100) + 25

= $325

Ejemplo 3 (pág. 146).

El departamento de policía de una ciudad pequeña contempla la compra de un auto patrulla adicional. Los analistas de la policía estiman que el costo de la compra de un automóvil totalmente equipado es de $100 000. También estima un costo operativo promedio de $.40 por kilometro.

a) Determine la función matemática que representa el costo total de la posesión y operación del automóvil en términos de los “x” kilómetros conducidos.

b) ¿Cuáles son los costos totales proyectados si se conduce el automóvil

50 000 kilómetros durante su tiempo de vida?

c) ¿Si se conduce 100 000 kilómetros?

Solución:

a) CT = .40x + 100 000

b) CT = .40(50 000) + 100 000

= $120 000

c) CT = .40(100 000) + 100 000

= $140 000

3.4.2 Función lineal.

1. Concepto.- Una función lineal tiene la forma general (pendiente-intercepcion)

Donde y son constantes

2.- Función lineal que incluye dos variables independientes tiene la forma:

Donde: Donde y son constantes (no cero) y es una constante.

3.- Funciones lineales de Costo.- Los contadores o economistas definen a menudo el costo total en términos de dos componentes: costo variable y costo fijo total. Se deben sumar esos dos componentes para determinar el costo total. El total de costos variables varía con el nivel de entrada (insumos) y se calcula como el producto del costo variable por unidad de salida (producción). En un escenario de producción, el costo variable por unidad se compone por lo general de los costos de materia prima y trabajo.

Ejemplo (pág. 187 Ejemplo 2).- Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual “y” como una función del número de unidades fabricadas “x”. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $50 00. También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son de $5.50 y los costos del trabajo por unidad son de $1.5, en el departamento de ensamble, $.75 en el departamento de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución.

La función de costo total tendría la forma:

y = C(x)

= costo variable total + costo fijo total.

Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan sumando los costos de trabajo respectivos de los tres departamentos. Se define el costo total por medio de la función:

y = costo total de la materia prima + costo total del trabajo + costo fijo total.

= costo total de la materia prima + costo del trabajo (departamento de ensamble) + costo del trabajo (cuarto de acabado) + costo del trabajo (departamento de envíos) + costo fijo total.

4.- Funciones lineales del ingreso.

Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya sea por la venta de productos o por la prestación de un servicio como ingreso. El modo más fundamental de calcular el ingreso total de la venta de un producto o servicio es:

Ingreso total = (precio) (cantidad vendida).

Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para todas las unidades vendidas.

Suponga que una empresa fabrica n productos. Si es igual al número de unidades vendidas del producto “i” y es igual al precio del producto “j”, la función que le permite calcular el ingreso total de la venta de “n” productos es:

5.- Ejemplo de función de ingreso. (pág. 188)

Una agencia local de renta de autos trata de competir con algunas empresas nacionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupa adornos superficiales como ventanas, tapacubos, radios y calentadores. El señor “H”, propietario de la empresa ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. “H” también simplifico la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por día por el uso de su automóvil. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia, o si R = ingreso anual en pesos

“d” = número de días de renta de autos durante el año.

R = f(d) = 9.95d

6.- Funciones lineales de utilidad.

La utilidad de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total. Expresado en forma de ecuación:

Utilidad = Ingreso total – Costo total.

Si Ingreso total es: R(x) y Costo total es: C(x), entonces la Utilidad Total sería:

P (x) = R (x) – C (x)

7.- Ejemplo de funciones de utilidad. Pág. 189.

Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos anuales son de $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de “x”, el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la utilidad si las ventas anuales son de 20 000 unidades?

SOLUCIÓN:

R(x) = 65x

C(x) = 47.50x + 100 000

Por lo tanto:

P(x) = 65x-(47.5x + 100 000)

=65x -47.5x-100000

=17.5x – 100 000

Si la x= 20 000 la utilidad es:

17.5 (20 000) -100 000=$250 000

8.- EJEMPLOS VARIOS.

1. Pág. 190 ejemplo 5

PLANEACIÓN DE LA AGRICULTURA.- Una organización agricultora tiene tres granjas diferentes que se utilizaran el año próximo. Cada granja tiene características únicas que la hacen ideal sólo para una cosecha. La tabla “A” indica la cosecha seleccionada para cada granja, el costo anual de la plantación de 1 acre de cosecha, el ingreso esperado derivado de cada acre y los costos fijos asociaos con la operación de cada granja. Además de los costos fijos relacionados con l operación de cada granja, la corporación como un todo tiene costos fijos anuales de $75 000. Determine la función de la Utilidad para la operación de las tres granjas si = número de acres plantados en la granja j, = ingreso por acre en la granja j, = costo por acre en la granja j y =Costo fijo en la granja j.

TABLA A

Granja Cosecha Costo/acre

Ingreso/acre

Costo Fijo

1 Frijol de soya $900 $1300 $150 000

2 Maíz 1100 1650 175 000

3 Papa 750 1200 125 000

SOLUCIÓN:

El ingreso total es:

Los costos totales son la suma de las tres granjas más los costos fijos corporativos:

La utilidad total es una función lineal que se calcula como:

Granja Cosecha Costo/acre Ingreso/acre Costo fijo

1 Frijol de soya

$ 900

$1300

$150000

2 Maíz

1100

1650

175000

3 Papa

750

1200

125000

1.- Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables independientes.

3.- Suponga en el ejemplo 1 (pág. 185) que el vendedor recibe un bono cuando la venta combinada de los os productos es de más de 80 unidades. El bono es de $2.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80. Con este programa de incentivo, la función del salario se debe describir por medio de dos funciones lineales. ¿Cuáles son?

(Ejemplo

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