TEORIA DE JUEGOS

MERCADOS ESPECIALES E IRREGULARES

• Mercados perfectos. Solamente sirven como referencia teórica y son aquellos en los cuales el comportamiento de los precios lo determinan las interacciones entre la oferta y la demanda sin ningún agente extraño que los altere. Esta figura corresponde al capitalismo ideal.

• Mercados imperfectos. Son una referencia teórica en la que el cambio en los satisfactores se realiza de manera equitativa según la participación de cada persona en la producción de satisfactores. Este concepto es propio del comunismo ideal, donde el estado es dueño de los bienes de producción y tiene una función distributiva entre todos los propietarios.

• Mercados relativamente perfectos por inducción. Corresponden a las comunidades en donde la influencia de ciertas personas de manera individual u organizada propicia una alteración en el nivel de los precios para su propio beneficio dando lugar a organizaciones cooperativistas y a prácticas monopólicas.

• Mercados relativamente perfectos por conducción. Son aquellos en los que el estado ejerce una rectoría económica que le permite influir en los procesos productivos generales llegando a limitar los precios por razones de conveniencia social.

En todas las economías hay intervención del gobierno que puede darse como medios regulatorios, pero también en algunas épocas los gobiernos implantan la economía mixta que les permite una doble personalidad porque actúan indistintamente como autoridades y como agentes económicos activos convirtiéndose en productores, comerciantes y consumidores

TEORIA DE JUEGOS

La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos campos, como en la biología, sociología, psicología y filosofía. Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar —en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos se ha usado en economía, ciencias políticas, ética y filosofía. Finalmente, ha atraído también la atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética.

Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros individuos.

EQUILIBRIO DE NASH

Historia

El concepto de equilibrio de Nash comienza su desarrollo con Antoine Augustin Cournot, y su trabajo sobre oligopolios (1838). En éste se plantea el modelo de varias empresas compitiendo por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cuánto producir para intentar maximizar su ganancia. Cournot encuentra comportamientos de equilibrio para el juego, que coinciden con los equilibrios de Nash en estrategias puras.

Los equilibrios de Nash en estrategias puras son limitados en muchos aspectos y fue con el desarrollo de la teoría moderna de juegos que surgen los equilibrios en estrategias mixtas (aquellas donde los jugadores pueden elegir aleatoriamente entre varias estrategias). El concepto de equilibrio para este tipo de estrategias fue introducido por John von Neumann y Oskar Morgenstern en su libro The Theory of Games and Economic Behavior (1944), aunque sólo trataron los equilibrios para el caso especial de juegos de suma cero.

Fue John Forbes Nash quien en su tesis de doctorado (1951) define los equilibrios que hoy llevan su nombre, tratando de manera general las estrategias mixtas y demostrando que cualquier juego con un número finito de estrategias tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas. Nash ganaría posteriormente un premio Nobel por la amplia gama de aplicaciones que tuvo este concepto en diversas ramas de las ciencias.

Posteriormente se encontraron algunos casos en los que los equilibrios de Nash no llevaba a predicciones totalmente adecuadas para los comportamientos de los jugadores, o que existían comportamientos estables que no se podían encontrar como equilibrios de Nash, lo que dio paso a la búsqueda y desarrollo de nuevos equilibrios (muchas veces como refinamientos de los equilibrios de Nash) y conceptos de solución de un juego.

Definiciones formales

Un juego rectangular se define como una terna (N,Dj,φj), donde N es el conjunto de jugadores, Dj es el conjunto de estrategias para cada jugador j y

son las llamadas funciones de pago, que a cada conjunto de estrategias (una para cada jugador) le asocia un respectivo pago al jugador j.

Denotaremos

Por otro lado dado un juego rectangular (N,Dj,φj), decimos que es una estrategia mixta del jugador j, si para toda , y . El entero lj denota el número de estrategias puras del jugador j.

Intuitivamente, una estrategia mixta es un vector que asocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j, de ahí que cada entrada tenga que ser no negativa y la suma de todas ellas sea 1.

En una estrategia mixta Xj del jugador j, se interpreta como el peso o probabilidad que el jugador j le asocia a su estrategia pura σj.

La letra Mj denotará al conjunto de estrategias mixtas del jugador j y M al producto cartesiano de los conjuntos Mj. A cada elemento de M lo llamaremos un perfil de estrategias mixtas.

Equilibrios en estrategias puras

Dado un juego rectangular (N,Dj,φj), se dice que es un equilibrio de Nash en estrategias puras (ep) si para cada jugador en N se cumple:

y donde representa el pago para el jugador j cuando éste decide cambiar su estrategia por cualquier otra , mientras que los demás jugadores mantienen la estrategia dada por el perfil σ.

Equilibrios en estrategias mixtas

Decimos que un perfil de estrategias mixtas X es un equilibrio de Nash en estrategias mixtas (em) si para cada jugador j∈N se cumple:

Donde Ej(X) es el pago esperado (o pago promedio) que obtendrá el jugador j al jugarse siempre el perfil de estrategias mixtas X.

Intuitivamente, un perfil de estrategias mixtas es equilibrio de Nash si, en promedio, ningún jugador puede mejorar su pago cambiando sus estrategias mixtas cuando el resto de los jugadores se mantenga con la estrategia actual.

Equilibrios de Nash para juegos extensivos

A menudo no es posible modelar un problema de la teoría de juegos a través de un juego rectangular y se hace necesario modelarlo como un juego extensivo. En estos casos pueden buscarse los equilibrios de Nash a través de la forma normal del juego o usando diversos algoritmos en el juego extensivo, como la inducción hacia atrás.

Ocurrencia

En la definición informal de equilibrios de Nash como estrategias estables que los jugadores terminan eligiendo hay fuertes supuestos de racionalidad. A menudo se pasa por alto el hecho de que en un juego los equilibrios de Nash se adoptarán solo bajo ciertas condiciones:

1. Todos los jugadores buscan maximizar su pago esperado de acuerdo a los pagos que describen el juego.

2. Los jugadores ejecutan sus estrategias sin errores.

3. Los jugadores tienen inteligencia suficiente para deducir sus propios equilibrios y los de los demás.

4. Los jugadores suponen que el hecho de cambiar su propia estrategia no provocará desviaciones en las estrategias de otros.

5. Existe un conocimiento común tanto de las reglas como de los supuestos de racionalidad.

De este modo, el incumplimiento de alguna de las condiciones puede llevar a desviaciones que resulten en estrategias distintas a los equilibrios de Nash:

1. La primera condición no se cumple si el juego no representa correctamente los pagos. Así, el dilema del prisionero no es tal si uno de los jugadores, contrario a toda racionalidad, busca quedarse el mayor tiempo posible en prisión.

2. Puede acontecer que a la hora de elegir una estrategia los jugadores se vean imposibilitados a llevarla a cabo en su realización. Así, la segunda condición pide que un jugador sea capaz de implementar su estrategia una vez que ha elegido su plan de acción.

3. Incluso en personas racionales e inteligentes existen juegos que, debido al poder de cómputo necesario para calcular sus equilibrios, se ven imposibilitadas a saber qué estrategia deberían seguir. Así, el juego del ajedrez no puede ser abordado para encontrar soluciones al juego y debido a esto los jugadores tienen que recurrir al ingenio para intentar vencer al oponente.

4. En muchas ocasiones los jugadores no saben exactamente las verdaderas reglas del juego y tienen que deducirlas de

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