Valores Y Vectores Característicos

Valores y Vectores Característicos

• Definición

Sea una A matriz cuadrada n x n con componentes reales o complejas, el número λ se denomina valor propio o valor característico de A si existe un vector V diferente de cero o tal que AV = λV. El vector V diferente de cero se denomina vector propio o vector característico de A correspondiente al valor propio de A.

Los valores propios y vectores propios se conocen también como eigenvalores y eigenvectores. Estos valores y vectores propios se utilizan generalmente en sistemas lineales de ecuaciones homogéneas que representan problemas de ingeniería.

El cálculo de los valores propios y de los vectores propios de una matriz simétrica tiene gran importancia en las matemáticas y en la ingeniería, entre los que cabe destacar, el problema de la diagonalización de una matriz, el cálculo de los momentos de inercia y de los ejes principales de inercia de un sólido rígido, o de las frecuencias propias de oscilación de un sistema oscilante.

Propiedades:

• El escalar λ es valor propio de A si existe v ≠ 0 tal que Av = λv.

• El vector v es vector propio de A asociado a λ si Av = λv.

• El escalar λ es valor propio de A si y solo si det(A - λI) = 0.

• El vector v es vector propio de A asociado a λ si (A - λI)v = 0.

Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios:

1. Se encuentra A-λI

2. Se encuentra det (A-λI)

3. Se encuentra P(λ)= det (A-λI) = 0

4. Se determinan las raíces λ1, λ2, λ3… λm por método algebráico.

5. Se encuentran los vectores característicos para cada una de las λ del paso anterior. Utilizando (A- λI) V=0 sale un sistema de ecuaciones homogéneas y se procede a determinar la forma de los vectores.

• Polinomio característico

Si A es una matriz cuadrada n x n entonces λ es un valor propio de A si y solo si:

P(λ)= det (A-λI) = 0

En otras palabras, todo valor propio λ debe ser raíz del polinomio característico asociado a A.

Esta ecuación se denomina ecuación característica de A.

Observaciones:

1. det(A- λI) es un polinomio cuyo grado coincide con el tamaño de la matriz A; sea n. Se llama polinomio característico. Como mucho tienen raíces distintas.

2. A un valor propio le corresponden una infinidad de vectores propios. En otras palabras: si λ es valor propio, el sistema (A - λI)v = 0 tiene siempre infinitas soluciones.

• Método FADDEEV-LEVERRIER

Este método constituye una técnica eficiente para generar los coeficientes del polinomio característico, tanto, cuando la matriz A de los coeficientes es simétrica, como cuando no lo es.

Tiene la ventaja adicional de que se obtiene automáticamente, al finalizar el proceso, la matriz inversa del sistema A-1

Este método hace uso de la traza de una matriz (tr[A]), esta es la suma de los elementos de la diagonal principal. El método se expresa por el siguiente conjunto de ecuaciones concurrentes

Donde b1, b2, …, bn, son las constantes a1, …, an-1, an, de la ecuación característica , ao=1

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