Valores Característicos Y Vectores Caracteristicos

Aproximación de los vectores y Valores característicos

La solución de muchos problemas físicos requiere del cálculo o por lo menos de estimación de los valores característicos y de los vectores característicos correspondientes de una matriz asociada con un sistema lineal de ecuaciones. Hemos visto que una matriz A de n x n tiene precisamente valores característicos, no necesariamente distintos que son las raíces del polinomio:

p(ʎ)=det⁡(A-ʎI) Teóricamente los valores característicos de A se pueden obtener encontrando las raíces de p (ʎ) y posteriormente resolviendo el sistema lineal Asociado de determinan los valores característicos correspondientes. En la práctica p(ʎ) es difícil obtener y que la determinación de las raíces de un polinomio de n-esimo puede ser difícil también para valores pequeños de n. Como consecuencia, es necesario desarrollar técnicas de aproximación para encontrar los valores característicos.

Antes de considerar mas resultados concernientes a los valores característicos y a los vectores característicos, necesitamos algunas definiciones y algunos resultados del algebra lineal. Todos los resultados generales que se necesitaran en lo que resta de este capitulo se darán aquí para facilitar las referencias.

Definición 8.31 Sea{V^((1) ),V^((2) ),V^((3) ),…,V^((4))} un conjunto de vectores. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente si existen números no todos cero tales, que

0=∝_1 V^((1) ) ∝_2,V^((2) ),〖∝_3 V〗^((3) )

Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente es linealmente independiente.

Teorema 8.32 Si {V^((1) ),V^((2) ),V^((3) ),…,V^((n))} es un conjunto de vectores linealmente dependiente es R^n, entonces cualquier vector puede expresarse de manera única como:

x= β_1 V^((1) )+β_2 V^((2) )+β_3 V^((3) )+,…,+β_n V^((n) )

Para alguna colección de constantes β_1 V^((1) )+β_2+,…,+β_n

Cualquier colección de n vectores linealmente independiente en R^n se denomina una base para R^n.

Sean v^1 〖(1,0,0)〗^t,v^((2))=〖(-1,1,1)〗^t , y v^3 〖=(0,4,2)〗^t . Si ∝_1,∝_2,y ∝_3son números

Con:

0=∝_1 V^((1) ) ∝_2,V^((2) ),〖∝_3 V〗^((3) )

Entonces (0,0,0)^t=∝_1 (1,0,0)^t+∝_2 (-1,1,1)^t+∝_3 〖=(0,4,2)〗^t

(∝_1- ∝_2,∝_2+4∝_3,∝_2+2∝_3 )^t,

Así que ∝_1- ∝_2=0 , ∝_2+4∝_3, y ∝_2+2∝_3

Como la única solución a este sistema es ∝_1= ∝_2 〖= ∝〗_3= 0 el conjunto {V^((1) ),V^((2) ),V^((3) )} es linealmente dependiente en R^3 y es una base para R^3.Cualquier vector x= 〖(x_1,x_2,x_3,)〗^t en R^3 puede escribirse como:

x= β_1 V^((1) )+β_1 V^((2) )+β_1 v^((3) )

Escogiendo

β_1=x_1-x_2+〖2x〗_3 , β_1=〖2x〗_3-x_2 y β_3=1/2 (x_2-x_3 ).

Definición 8.33 Se dice que dos matrices A y B de n ×n son similares si existe una matriz no-similar S con A=S^(-1) BS.

Teorema 8.34 Supóngase que A y B son matrices similares de n ×n y ʎ es un valor característico de A, con valor característico asociado x. Entonces es también un valor característico de B y si A=S^(-1) BS, entonces Sx es un vector característico asociado a ʎ y a la matriz B.

Definición 8.35 Un conjunto de vectores {V^((1) ),V^((2) ),…,V^((n))} se llama ortogonal si (V^((i) ) )^t V^((j) )=0 para toda i≠j. Si además (V^((i) ) )^t V^((j) )=1 para toda i=1,2,…,n entonces el conjunto se llama ortonormal.

Teorema 8.36 Un conjunto ortogonal de vectores que no contenga el vector cero es linealmente independiente.

Teorema 8.37 Si A es una matriz y ʎ_1,…,ʎ_k son valores característicos distintos de A con vectores con vectores característicos asociados x^((1)),x^((2)),…,x^((k)) entonces {x^((1)),x^((2)),…,x^((k) )} es linealmente independiente.

Definición 8.38 Se dice que una matriz P de n ×n es una matriz ortogonal si P^(-1)=P^t.

Definición 8.39 Si A es una matriz simétrica de n ×n es una matriz ortogonal P tal que D= P^(-1) AP=P^t AP, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos en la diagonal son valores característicos de A.

El teorema 8.39 implica que toda matriz simétrica es similar a una matriz diagonal. Este resultado será la base de los resultados de la sección 8.5. La generalización de este teorema a matrices-no simétricas arbitrarias no se considerara en este texto, pero constituye un tema importante del algebra lineal conocido como Forma Canónica de Jordan de una matriz. A continuación un caso especial relacionado con el resultado.

Teorema 8.40 (Schur) Sea A una matriz arbitraria de n ×n. Existe una matriz no singular U con la propiedad de que

T= U^(-1) AU,

Donde T es una matriz triangular superior cuyos elementos de la diagonal son valores característicos de A.

La matriz U, cuya existencia esta garantizada por el teorema 8.40, puede escogerse de manera que satisfaga una condición muy importante: ǁUxǁ_2= ǁxǁ_2 para cualquier vector x. Las matrices con esta propiedad se conocen como matrices unitarias. Aun cuando no haremos uso de esta propiedad de preservación de la norma, esta incrementa significativamente

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