El hallazgo de valores y la dirección del vector
Enviado por • 11 de Septiembre de 2014 • Tareas • 3.562 Palabras (15 Páginas) • 678 Visitas
1 consideremos un vector Z definido por la ecuación z= z_1 z_2 siendo z_1=a+bj y z_2=c+dj
Demostrar que la longitud de Z es igual al producto de las longitudes de z_1 〖 y z〗_2
Rta/ z=(a+bj)+(c+dj)
z=(ac-cd)+(ad+bc)j
|z|=√((ac-cd)^2+(ad+bc)^2 )
|z|=√(a^2 c^2-2abcd+b^2 d^2+a^2 d^2+2abcd+b^2 c^2 )
|z|=√(a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2 )
z_1=a+bj y z_2=c+dj
|z_1 |=√(a^2+b^2 ) |z_2 |=√(c^2+d^2 )
|z_1 ||z_2 |=(√(a^2+b^2 ))(√(c^2+d^2 ))
|z_1 ||z_2 |=√((a^2+b^2 )^2 〖(c^2+d^2)〗^2 )
|z_1 ||z_2 |=√(a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2 ) =z
Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z y X es la suma de los ángulos que forman por separados z_1 〖 y z〗_2 con X
z_1=a+bj y z_2=c+dj
z_1=r_1 (cosθ+sinθ j) z_2=r_2 (cos∅+sin∅ j)
z=r_1 (cosθ+sinθ j)r_2 (cos∅+sin∅ j)
z=r_1 r_2 [(cosθ cos∅-sinθ sin∅ )+(cosθ sin∅+cos〖∅sinθ)j]〗
cos(θ+∅) ∧ sin(θ+∅)
z=r_1 r_2 [cos(θ+∅)+sin(θ+∅)j]
2. consideremos un vector Z definido por la ecuación z= z_1 〖/z〗_2 donde (z_2 ≠0), siendo z_1=a+bj y z_2=c+dj
a) Demostrar que la longitud de Z es igual al cociente de las longitudes de z_1 〖 y z〗_2
Rta/ z= z_1 〖/z〗_2
|z|= √(a^2+b^2 )/√(c^2+d^(2 ) )= √((a^2+b^2)/(c^2+d^(2 ) ))
z_1/z_2 = (a+bj)/(c+dj)* (c-dj)/(c-dj)
z_1/z_2 =((ac+bd)+(cbj-adj))/(c^2+d^2 )
|z_1/z_2 |= √((〖(ac+bd)〗^2+〖(cb-ad)〗^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )
|z_1/z_2 |= √((a^2 c^2-2abcd+b^2 d^2+a^2 d^2+2abcd+b^2 c^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )
|z_1/z_2 |= √((a^2 c^2+b^2 d^2+a^2 d^2+b^2 c^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )
|z_1/z_2 |= √((〖(a^2+b^2)〗^2 〖(c^2+d^2)〗^2)/〖(c^2+d^2)〗^2 )
|z_1/z_2 |= √((a^2+b^2)/(c^2+d^2 ))=|z|
b) Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes Z y X es la diferencia de los ángulos que forman por separados z_1 〖 y z〗_2 con X
Rta/ z_1=a+bj y z_2=c+dj
z_1=r_1 (cosθ+sinθ j) z_2=r_2 (cos∅+sin∅ j)
z=(r_1 (cosθ+sinθ j) )/(r_2 (cos∅+sin∅ j) )
z=(r_1 (cosθ+sinθ j) )/(r_2 (cos〖∅〖+sin〗∅ j〗) )* ((cos∅-sin∅ j) )/((cos〖∅〖-sin〗∅ 〗 j) )
Cos (∅-θ) sin (∅-θ)
z=r_1/r_2 ((cosθ cos∅+sinθ sin∅ j+(-cos〖θ sin∅ j+sinθ 〗 cos∅) )/(〖cos∅〗^2+〖sin∅〗^2 ))
1
z=r_1/r_2 (cos(∅-θ)+ sin (∅-θ) j)
3) Demostrar que la multiplicación de cualquier numero complejo Z por ℮^jθ puede describirse en términos geométricos como una rotación positiva en el ángulo θ del vector representado por Z sin alteración de su longitud.
Rta/ z=r(cos∅+sin∅ )
℮^jθ=(cosθ+jsinθ )
z*℮^jθ=r(cos∅+sin∅ )(cosθ+jsinθ )
z*℮^jθ=r(cos〖∅cosθ-sin∅ 〗 sinθ+(sin〖∅cosθ j+sin〖θ cos∅ j〗 〗 ))
z*℮^jθ=r(cos(θ+∅)+sin(θ+∅))
4) a) si 〖z=A℮〗^jθ , deducir que dz=jzdθ y expresar y explicar el significado de esta relación en un diagrama vectorial
Rta/ 〖z=A℮〗^jθ
dz=jA℮^jθ dθ →dz=jzdθ
jA℮^jθ dθ 〖A℮〗^jθ=z
θ+〖90〗^o
θ
Ambos vectores poseen el mismo radio, se puede decir que tiene la misma amplitud los dos vectores pero la diferencia entre ambos es su ángulo y que el primero lo multiplicamos por J al derivar rotamos el vector 〖90〗^o pero sigue siendo el mismo vector, conserva su magnitud.
Hallar los valores y direcciones de los vectores (2+j√3)y (2-j√3)^2
Rta/ (2-j√3)^2=[(4-3)+j(2(2)(-√3))]
(2-j√3)^2=(1-j4√3) 2
(2-j√3)^2=(1-√48) 2+j√3
2
√1u
√1u
√1u (2-j√3)^2
√1u
√1u
z_1= (2+j√3) Posee una diferencia positiva en el cuadrante 1, con una
|z_1 |= √((2)^2-(√3)^2 )= √(4+3) Magnitud de √7 unidades
z_2= (2-j√3)^2
|z_2 |= √(1+(4√3)^2 )= √(1+48)= √49=7
El vector está ubicado en el IV cuadrante el cual tiene una componente en x positiva “parte real” y una componente en Y negativa “parte imaginaria” y una magnitud de 7unidades.
5) para tomar las derivadas sucesivas de ℮^jθ respecto ha θ, basta multiplicar por J
d/dθ (A℮^jθ )= JA℮^jθ
Demuestre que esta propiedad sigue siendo válida si se utiliza la representación sinusoidal ℮^jθ= cosθ+J sinθ
A(cosθ+J sinθ )=A℮^jθ Derivamos
A(-sinθ+J cosθ )=A℮^jθ Sacamos factor común J
AJ((-sinθ)/J+cosθ )=JA℮^jθ
AJ(J/J*(-sinθ)/J+cosθ )=JA℮^jθ
AJ(cos〖θ+sinθJ〗 )=JA℮^jθ → = JA℮^jθ
℮^jθ
6) dada la relación de ℮^(jθ )=cos〖θ+sin〖θj,〗 〗 hallar
a) la representación geométrica de ℮^(-jθ )
Rta/ ℮^(-jθ )= cos〖θ+sin〖θj 〗 〗
b) la representación exponencial de cos〖θ cosθ〗
Rta/ cos〖θ cosθ〗=(℮^(jθ )+ ℮^(-jθ ))/2
c) la representación exponencial de sin〖θ sinθ〗
7) a) justificar las formulas cos〖θ=((℮^jθ+℮^(-jθ) ))/2 y sin〖θ=((℮^jθ-℮^(-jθ) ))/2J 〗 〗utilizando los desarrollos en serie correspondiente.
Rta/ ℮^jθ= cos〖θ+〗 Jsinθ ℮^jθ = cos〖θ+〗 Jsinθ
℮^(-jθ)= cos〖θ-〗 Jsinθ ℮^(j-θ)= 〖-cos〗〖θ+〗 Jsinθ
℮^jθ+℮^(-jθ)= 2 cosθ ℮^jθ+℮^(-jθ)= 2 Jsinθ
cosθ= (℮^jθ+℮^(-jθ))/2 sinθ= (℮^jθ-℮^(-jθ))/2J
cos〖θ cosθ〗=(℮^(jθ )- ℮^(-jθ ))/2j
8) utilizando las representaciones vectoriales de sinθ 〖 y cos〗θcomprobar las siguientes identidades trigonométricas
Rta/
〖sin〗^2 θ+〖cos〗^2 θ=1
〖sin〗^2 θ=((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)^2 〖cos〗^2 θ=((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)^2
((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)+((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)^2=1
(〖-℮〗^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)-℮^(-2jθ))/4+ (℮^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ))/4=1
(2℮^jθ ℮^(-jθ)+2℮^jθ ℮^(-jθ))/4=1
(2℮+2℮)/4=1 →(2+2)/4=1 →4/4=1 →1=1
b)-〖sin〗^2 θ+ 〖cos〗^2 θ=cos2θ
〖sin〗^2 θ=((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)^2 〖cos〗^2 θ=((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)^2= cos2θ
(〖-℮〗^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)-℮^(-2jθ))/(-4)+ (℮^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ))/4=cos2θ
(〖℮^2jθ-2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ)+℮〗^2jθ+2℮^jθ ℮^(-jθ)+℮^(-2jθ))/4=cos2θ
(〖2℮〗^2jθ+2℮^(-2jθ))/4=cos2θ
(℮^2jθ+2℮^(-2jθ))/2=cos2θ
cos2θ=cos2θ
c)2sinθcosθ=sin2θ
sinθ=((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J) cosθ=((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)
2((℮^jθ-℮^(-jθ))/2J)((℮^jθ+℮^(-jθ))/2)=sin2θ
(℮^2jθ-℮^jθ ℮^(-jθ)-℮^(-2jθ)+℮^jθ ℮^(-jθ))/2J=sin2θ
(℮^2jθ-℮^(-2jθ))/2J=sin2θ
sin2θ=sin2θ
9) Se puede pagar 20 céntimos de un objeto valorado por un matemático con J^j pesetas?
Recuerde que 〖(cos〗〖θ+〗 sin〖θ=〗 ℮^jθ)
cosθ= sin〖(θ+π/2) y sinθ= 〖-cos〗〖(θ+π/2) 〗 〗
℮^jθ=cosθ+jsinθ
℮^jθ=sen(θ+π/2)-jcos(θ+π/2) ℮^jθ
〖j℮〗^jθ=jsen(θ+π/2)+cos(θ+π/2) ℮^(-jθ)
〖j℮〗^jθ= ℮^(j(θ+π/2))→ j^(-j) ℮^(-θ)= ℮^(-θ) ℮^(-π/2)
j^(-j)= ℮^(-π/2)
j^(-j)= 0,2 pesetas ≈20 centimos
10) comprobar que la ecuación diferencial (d^2 y)/(dx^2 )= -ky
y tiene por solución y=Acos(kx)+Bsin(kx). Siendo Ay B constantes arbitrarias. Demostrar también que esta solución puede escribirse en la forma
y=[Ccos(kx+∝) ]= CR〖[℮〗^j(kx+∝) ]=CR℮〖[℮〗^j(kx+∝) ]=R℮〖[(C℮〗^(j∝)) ℮^jkx] y
Expresar C y α en función de A y B
y=Acos(kx)+B sin(kx)
dy/dx= -Akx sinkx+Bkx coskx}
dy/dx= 〖-Ak〗^2 coskx〖-Bk〗^2 sinkx
(d^2 y)/〖dx〗^2 = 〖-k〗^2 (A cos(kx)++B sin(kx))
Y
(d^2 y)/〖dx〗^2 = 〖-k〗^2 y
(d^2 y)/〖dx〗^2 = k^2 y
k^2= k^y
(d^2 y)/〖dt〗^2 = 〖-ω〗^2 Acos(ωt+∝)
(d^2 y)/〖dt〗^2 = A(t)
A_(8⁄3)= -0,05(2π)^2 cos(2π(8/3)+90)in
A_(8⁄3)= -1,709465627 m/s^2 → A_(8⁄3)= -√3/10 π^2 m/s^2
11)Una masa al extremo de un muelle oscila con una magnitud de 5 cm y una frecuencia de 1Hz(ciclos por segundo). Para T=0, la masa esta en su posición de equilibrio(X = 0).
a) A=5cm F=1〖sg〗^(-1 ) t=0 X_((0))=0 ω=2πt
ω=2π(1Hz)
ω=2πf=2π∅=± π/2
dy/dx= -10π sin(2πt±π/2)
(d^2 y)/(dx^2 )= -20π cos(2πt±π/2)
A= √(X_((0))^2+(V_((0) )/ω)^2 )
∅=Arctan(V_((0) )/(cosX_((0)) ))
∅=±π/2
X_((8/3))=5 cos(2π 8/3±π/2) = 5 cos(16π/3±π/2)
= 5[cos 16π/3*cos π/2∓sin〖16π/3*〖sin±〗〖π/2〗 〗 ]
= 5 sin〖16π/3〗= (5√3)/2=4,3cm
t= 8/3 ; a=5cm ; ω=2πf →2π
f=1〖sg〗^(-1)
X=Acos(ωt+∅) t=0 X_((0) )=0
X=5 cos(2πt±π/2) A=√(X_((0))^2+(v_((0))/ω)^2 )
ω=2πf ∅=arctan(-v_((0))/〖ωx〗_((0)) )
ω=2π(1Hz) ∅=±π/2
ω=2π(12rad)
∅=±π/2
dy/dx= -10π sin(2πt±π/2)
(d^2 y)/(dx^2 )= -20π cos(2πt±π/2)
X_((8/3))=5 cos(2π 8/3±π/2) = 5 cos(16π/3±π/2)
= 5[cos 16π/3*cos π/2∓sin〖16π/3*〖sin±〗〖π/2〗 〗 ]
= 5 sin〖16π/3〗= (5√3)/2=4,3cm
X_((8/3))=-10 πsin(16π/3±π/2)
X_((8/3))= [sin 16π/3*cos π/2±sin〖π/2*cos〖16π/3〗 〗 ]
X_((8/3))= ± 10π/2= ±5π cm⁄sg
X_((8/3))= (4π^2 5√3)/2=10π^2 √3 cm⁄〖sg〗^2
como (d^2 y)/(dx^2 )= -ω^2 x
12) un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50cm/sg. El periodo de una vuelta completa es 6 seg para T = Ø la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un ángulo de 〖30〗^o con el eje X.
a) obtener la ecuación de la coordenada X del punto en función del tiempo, en la forma
x=Acos(ωt+α) Conocidos los valores numéricos de A,ω y α
2= πf= ω; ω=2π rad/seg ; A=0,05m ; α=?; x_o=0; t_o=0;
0=0,05m cos(2πϕ+α)
cos(2πϕ+α)=0→ α= 〖cos〗^(-1) (ϕ) → α= 〖90〗^o
x_1=0,05m cos(2πt+〖90〗^o )
b) cuales son los valores de X, dx/dy y (d^2 x)/〖dt〗^2 para t= 8/3 sg
x_t= 0,05m cos(2πt+〖90〗^o ) t= 8/3 sg
x_(8/3)= 0,05m cos(2π 8/3+〖90〗^o ) → x_(8/3)=√3/40 m
dx/dt= -2π*0,05m(sin(2π(8/3)+〖90〗^o ) )
dx/dt=V_(t )→ V_(8/3 )= π/20 m⁄s
Y=Ccos(kx+α)
Y=C[coskx cosα-sinkx sinα] ①
Y=[Acoskx+Bsinkx]②
Ccoskx cosα-Csinkx sinα= Acoskx+Bsinkx
A=Ccosα → 〖 A〗^2 C^2 〖cos〗^2 α
B=Csinα → 〖 B〗^2 C^2 〖sin〗^2 α
〖 A〗^2+B^2= C^2 (〖cos〗^2 α 〖sin〗^2 α)
〖 C^2= A〗^2+B^2
C= √(A^2+B^2 ) → A= √(A^2+B^2 ) cosα y B= √(A^2+B^2 ) sinα
α=arCcos(A/√(A^2+B^2 )) → α=arCsin(B/√(A^2+B^2 ))
INFORME DE LABORATORIO N°1
OSCILACIONES Y ONDAS: Oscilador armónico
MATERIA: ONDAS
GRUPO: 03
ALUMNO:
RICHARD ALBERTO FUENTES MOLINA
PROFESOR:
TOMAS MERCADO
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR
Valledupar, 21 de marzo del 2014
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