Ecuaciones Diferenciales

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Para la condición x = 0 , se tiene y = 0 y al sustituir en la solución general resulta

0 = C

Finalmente, sustituyendo este valor en la solución general, se obtiene

y = 4 x − x 2 que representa el elemento de la familia que pasa por (0 , 0)

6) Obtenga la ecuación diferencial cuya solución general es la familia de rectas tales que su

pendiente y su abscisa al origen son iguales.

RESOLUCIÓN

La ecuación de la recta a considerar corresponde a la de punto y pendiente,

y − y 0 = m(x − x 0 )

donde el punto P 0 (x 0 , y 0 ) tiene por coordenadas (a , 0) y a es la abscisa al origen;

si la pendiente y abscisa al origen son iguales se tiene m = a y al sustituir en la ecuación de

la recta

y = a ( x − a) ; a es una constante arbitraria

Finalmente

y = a x − a 2

que es la ecuación de la familia de rectas.

Para obtener la ecuación diferencial se deriva la ecuación de la familia

y ' = a

enseguida se sustituye en la ecuación de la familia

y = y ' x − ( y ') 2

que también se puede escribir como

( y ') 2 − y ' x + y = 0

que es la ecuación diferencial.

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