ECUACIONES DIFERENCIALES

Defina de las siguientes ecuaciones diferenciales el orden y linealidad.

(1-y) y^''-4xy^'+5y=cos⁡x

Solución:

La ecuación diferencial es de orden 2, debido a que su derivada mayor es de grado 2 (y^'' ), y no es lineal, porque y^'' depende de (1-y) y esto contradice el concepto de linealidad donde dice que la variable dependiente "y" y sus derivadas (y^',y^'',y^''',…,y^n) solo dependen de "x".

xy^'''-2(y')^4+y=0

Solución:

La ecuación diferencial es de orden 3, debido a que su derivada mayor es de grado 3 (y^''' ), y no es lineal, porque y^' esta elevada a una potencia 4 [(y')^4 ] y esto contradice el concepto de linealidad donde dice que la variable dependiente "y" y sus derivadas (y^',y^'',y^''',…,y^n) son de primer grado, es decir elevados a una potencia1.

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales separables:

dy/dx=(xy+2y-x-2)/(xy-3y+y-3)

Solución: Lo primero es despejar la ED.

(xy-3y+x-3)dy=(xy+2y-x-2)dx

[x(y+1)-3(y+1)]dy=[x(y-1)+2(y-1)]dx

[(y+1)(x-3)]dy=[(y-1)(x+2)]dx

[((y+1))/((y-1) )]dy=[((x+2))/((x-3) )]dx

Luego integrando:

∫▒(y+1)/(y-1) dy=∫▒〖(x+2)/(x-3) dx〗

∫▒(y+1+(-1+1))/(y-1) dy=∫▒〖(x+2+(-3+3))/(x-3) dx〗

∫▒(y-1+2)/(y-1) dy=∫▒〖(x-3+5)/(x-3) dx〗

∫▒(y-1)/(y-1) dy+2∫▒dy/(y-1)=∫▒〖(x-3)/(x-3) dx+5∫▒dy/(x-3)〗

∫▒dy+2∫▒dy/(y-1)=∫▒〖dx+5∫▒dy/(x-3)〗

Respuesta: y+2 ln⁡|y-1|=x+5 ln⁡〖|x-3|+C〗

dy=(e^(3x+2y) )dx

Solución: Lo primero es despejar la ED.

dy=(e^3x )(e^2y )dx

(e^(-2y) )dy=(e^3x )dx

Luego integrando:

∫▒(e^(-2y) )dy=∫▒(e^3x )dx

-e^(-2y)/2=e^3x/3+C

e^(-2y)=-(2e^3x)/3+C

ln|e^(-2y) |=ln|-(2e^3x)/3+C|

-2y=ln|-(2e^3x)/3+C|

y=-1/2 ln|-(2e^3x)/3+C|

Respuesta: y=ln|√(1/(-(2e^3x)/3+C))|

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:

(2xy^2+ye^x )dx+(2x^2 y+e^x-1)dy=0

Solución: Lo primero es probar si la ecuación diferencial es exacta.

∂M/∂y=∂N/∂x,donde M=2xy^2+ye^x y N=2x^2 y+e^x-1

∂[2xy^2+ye^x ]/∂y=∂[2x^2 y+e^x-1]/∂x

4xy+e^x=4xy+e^x (la E.D.es exacta).

Ahora, para solucionar la ED exacta lo hacemos con la siguiente formula

f(x,y)=p+q-∫▒p_y dy =C (1)

Donde, p=∫▒〖Mdx; q=∫▒〖Ndy ; p_y=∂p/∂y〗〗

Entonces

p=∫▒〖(2xy^2+ye^x )dx; q=∫▒〖(2x^2 y+e^x-1)dy 〗〗

p=x^2 y^2+ye^x ; q=x^2 y^2+ye^x-y ; p_y= 2x^2 y+e^x

Reemplazamos en la ecuación (1)

C=(x^2 y^2+ye^x ) +(x^2 y^2+ye^x-y)-∫▒(2x^2 y+e^x ) dy

C=(x^2 y^2+ye^x ) +(x^2 y^2+ye^x-y )-(x^2 y^2+ye^x )

C=x^2 y^2+ye^x-y

Respuesta: C=x^2 y^2+y(e^x-1)

Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D:

(xy^2+bx^2 y)dx+(x+y) x^2 dy=0

Solución: Lo primero es buscar que la ecuación diferencial sea exacta.

∂M/∂y=∂N/∂x,donde M=xy^2+bx^2 y y N=x^3+x^2 y

∂[xy^2+bx^2 y ]/∂y=∂[x^3+x^2 y]/∂x

2xy+bx^2=2xy〖+3x〗^2,

entonces

...