Ecuaciones Diferenciales

Ensayo

En el estudio de las ciencias e ingeniería, así como en otros campos tales como, la economía, medicina, psicología, investigación de operaciones entre otros, se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadas de una función incógnita o función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.

Clasificación por Tipo:

• Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

• Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).

Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación:

• Esta ecuación es de orden 2, no debe confundirse con el exponente 3 que está definido para la derivada de orden 1. Y como para el orden se debe tener en cuenta el mayor orden entonces el orden es 2.

• y'''+ 3y'' - 3y' - y = 0 es una ecuación de orden 3

• M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial de orden 1, porque hay que tener en cuenta que y' = dy/dx.

Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y',..., y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y',..., y(n)) = 0 es:

La solución de una ecuación diferencial es cualquier función o relación que satisface la ecuación, dicho en otras palabras, la reduce a una identidad.

Una función o relación que satisface a una ecuación diferencial y en su estructura la variable dependiente se expresa tan solo en términos de la(s) variable(s) independiente(s) y constante(s) se llama solución explicita.

Una función o relación que satisface a una ecuación diferencial y que involucra en su estructura tanto variables dependientes como independientes decimos que es una solución implícita de la ecuación diferencial dada.

Un problema de valor inicial,

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