Funciones y relaciones

Funciones y relaciones

PRODUCTO DE CONJUNTOS

Es importante recordar algunas operaciones ya definidas con conjuntos, como la unión,

intersección, etc, para el tema que se inicia es importante recordar el producto de conjuntos. Como

en muchos casos no se ha estudiado con anterioridad, es que se procede a la definición del producto

de conjuntos.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El producto, o el producto cartesiano de A y B, denotado

por A
B, es el conjunto de todos los pares ordenados
a, b, tal que a
A y b
B.

Simbólicamente se puede expresar como

A
B

a, b : a
A y b
B

EJERCICIO

Si A
1, 2, 3 y B
a, b y C
x, y, z, entonces

1. A
B
_______________________________________________________________________

2. B
A
_______________________________________________________________________

3. A
A
_______________________________________________________________________

4. Cuántos elementos tiene A
B
C, lo que quiere decir

n
A
B
C?
_________________________

5. Escriba 5 elementos del conjunto A
B
C ______________________________________

6. Que significa IR
IR
___________________________________

La notación n
A
número de elementos de A, para el caso del ejercicio anterior n
A
3, y

n
B
2

En general para determinar el número de elementos de A x B , se tiene que

n
A
B
n
A
n
B

En el caso del ejercicio anterior se tiene n
A
B
n
A
n
B
3
2
6 .

Una forma de expresar una relación entre los elementos de un conjunto A, y un conjunto B, es

utilizando pares ordenados, donde el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo al

conjunto B, y además R es la regla que asigna a cada elemento de A un elemento de B.

1

El conjunto A recibe el nombre de dominio, el conjunto B el de codominio.

FUNCIONES

Una función es una relación en la que se establece una condición, a saber, que cada elemento

tiene asociado una única imagen. En el gráfico anterior se muestra que el 0, tiene dos imágenes, 5

y el -5, por lo tanto es una relación, no es función.

Definición

Una función es una regla, que asigna a cada elemento del dominio ( primer conjunto)

exactamente un elemento del codominio (segundo conjunto). Simbólicamente se puede expresar lo

anterior como

f : A  B

x  y

equivalente x  f
x o bien y
f
x o
x, y

Al conjunto a cuyos elementos se les aplica la regla se llama dominio. El conjunto de los

resultados de aplicar la regla se llama rango, que es un subconjunto del codominio. Sea x un

elemento del domino, también se le llama preimágen, y al elemento de salida, que se le llama

imagen.

Cuando una función está dada por una fórmula, en términos de la variable x , se asume, si no se

indica otra cosa, que el dominio es IR

o bien el mayor subconjunto de IR en el cual la fórmula tiene sentido y el codominio esIR.

La definición anterior establece dos condiciones importantes

La imagen única

Todos los elementos de dominio deben contar con una imagen.

El símbolo f
x se lee como ”f de x” , y es llamado como el valor de f en x, o la imagen de x

bajo f.

EJERCICIO

1. Sea f
x
2x  1 A
1, 2, 3, 4 B
0, 1, 2, 3, . . . . 14

a. Indique con palabras la fórmula anterior____________________________________

b. Encuentre todos los pares de la forma
x, f
x_________________________________

2

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