Funciones y relaciones
Star4Trabajo5 de Abril de 2014
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Funciones y relaciones
PRODUCTO DE CONJUNTOS
Es importante recordar algunas operaciones ya definidas con conjuntos, como la unión,
intersección, etc, para el tema que se inicia es importante recordar el producto de conjuntos. Como
en muchos casos no se ha estudiado con anterioridad, es que se procede a la definición del producto
de conjuntos.
Sean A y B dos conjuntos no vacíos. El producto, o el producto cartesiano de A y B, denotado
por A B, es el conjunto de todos los pares ordenados a, b, tal que a A y b B.
Simbólicamente se puede expresar como
A B a, b : a A y b B
EJERCICIO
Si A1, 2, 3 y Ba, b y Cx, y, z, entonces
1. A B _______________________________________________________________________
2. B A _______________________________________________________________________
3. A A _______________________________________________________________________
4. Cuántos elementos tiene A B C, lo que quiere decir
nA B C? _________________________
5. Escriba 5 elementos del conjunto A B C ______________________________________
6. Que significa IR IR ___________________________________
La notación nA número de elementos de A, para el caso del ejercicio anterior nA 3, y
nB 2
En general para determinar el número de elementos de A x B , se tiene que
nA B nA nB
En el caso del ejercicio anterior se tiene nA B nA nB 3 2 6 .
Una forma de expresar una relación entre los elementos de un conjunto A, y un conjunto B, es
utilizando pares ordenados, donde el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo al
conjunto B, y además R es la regla que asigna a cada elemento de A un elemento de B.
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El conjunto A recibe el nombre de dominio, el conjunto B el de codominio.
FUNCIONES
Una función es una relación en la que se establece una condición, a saber, que cada elemento
tiene asociado una única imagen. En el gráfico anterior se muestra que el 0, tiene dos imágenes, 5
y el -5, por lo tanto es una relación, no es función.
Definición
Una función es una regla, que asigna a cada elemento del dominio ( primer conjunto)
exactamente un elemento del codominio (segundo conjunto). Simbólicamente se puede expresar lo
anterior como
f : A B
x y
equivalente x fx o bien y fx o x, y
Al conjunto a cuyos elementos se les aplica la regla se llama dominio. El conjunto de los
resultados de aplicar la regla se llama rango, que es un subconjunto del codominio. Sea x un
elemento del domino, también se le llama preimágen, y al elemento de salida, que se le llama
imagen.
Cuando una función está dada por una fórmula, en términos de la variable x , se asume, si no se
indica otra cosa, que el dominio es IR
o bien el mayor subconjunto de IR en el cual la fórmula tiene sentido y el codominio esIR.
La definición anterior establece dos condiciones importantes
La imagen única
Todos los elementos de dominio deben contar con una imagen.
El símbolo fx se lee como ”f de x” , y es llamado como el valor de f en x, o la imagen de x
bajo f.
EJERCICIO
1. Sea fx 2x 1 A 1, 2, 3, 4 B 0, 1, 2, 3, . . . . 14
a. Indique con palabras la fórmula anterior____________________________________
b. Encuentre todos los pares de la forma x, fx_________________________________
2
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